Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線（）與雙曲線交于，兩點（點在第一象限），直線（）與雙曲線交于，兩點．當(dāng)這兩條直線互相垂直，且四邊形的周長為時，點的坐標為_________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

首先根據(jù)題意求出點A坐標為(，)，從而得出，然后分兩種情況：①當(dāng)點B在第二象限時求出點B坐標為(，)，從而得出，由此可知，再利用平面直角坐標系任意兩點之間的距離公式可知：，所以，據(jù)此求出，由此進一步通過證明四邊形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②當(dāng)點B在第四象限時，方法與前者一樣，具體加以分析即可.

∵直線()與雙曲線交于，兩點（點在第一象限），

∴聯(lián)立二者解析式可得：，由此得出點A坐標為(，)，

∴，

①當(dāng)點B在第二象限時，如圖所示：

∵直線（）與雙曲線交于，兩點，

∴聯(lián)立二者解析式可得：，由此得出點B坐標為(，)，

∴，

∵AC⊥BD，

∴，

根據(jù)平面直角坐標系任意兩點之間的距離公式可知：

，

∴，

解得：，

∴，

根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性可知：OC=OA，OB=OD，

∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴，

∴，

解得：或2，

∴A點坐標為(，)或(，)，

②當(dāng)點B在第四象限時，如圖所示：

∵直線（）與雙曲線交于，兩點，

∴聯(lián)立二者解析式可得：，由此得出點B坐標為(，)，

∴，

∵AC⊥BD，

∴，

根據(jù)平面直角坐標系任意兩點之間的距離公式可知：

，

∴，

解得：，

∴，

根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性可知：OC=OA，OB=OD，

∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴，

∴，

解得：或2，

∴A點坐標為(，)或(，)，

綜上所述，點A坐標為：(，)或(，)，

故答案為：(，)或(，).