【題目】某數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究,已知AB=8.
問題思考:
如圖1,點P為線段AB上的一個動點,分別以AP、BP為邊在同側作正方形APDC與正方形PBFE.
(1)在點P運動時,這兩個正方形面積之和是定值嗎?如果時求出;若不是,求出這兩個正方形面積之和的最小值.
(2)分別連接AD、DF、AF,AF交DP于點A,當點P運動時,在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在兩個面積始終相等的三角形?請說明理由.
問題拓展:
(3)如圖2,以AB為邊作正方形ABCD,動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動,且PQ=8.若點P從點A出發(fā),沿A→B→C→D的線路,向D點運動,求點P從A到D的運動過程中,PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長.
(4)如圖(3),在“問題思考”中,若點M、N是線段AB上的兩點,且AM=BM=1,點G、H分別是邊CD、EF的中點.請直接寫出點P從M到N的運動過程中,GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值.
【答案】(1)當x=4時,這兩個正方形面積之和有最小值,最小值為32;
(2)存在兩個面積始終相等的三角形,圖形見解析;
(3)PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為6π;
(4)點O所經(jīng)過的路徑長為3,OM+OB的最小值為.
【解析】
(1)設AP=x,則PB=1-x,根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個正方形面積之和=x2+(8-x)2,配方得到2(x-4)2+32,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解;
(2)根據(jù)PE∥BF求得PK=,進而求得DK=PD-PK=a-=,然后根據(jù)面積公式即可求得;
(3)PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4,圓心角為90°的圓。
(4)GH中點O的運動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上,然后利用軸對稱的性質,求出OM+OB的最小值.
(1)當點P運動時,這兩個正方形的面積之和不是定值.
設AP=x,則PB=8-x,
根據(jù)題意得這兩個正方形面積之和=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32,
所以當x=4時,這兩個正方形面積之和有最小值,最小值為32;
(2)存在兩個面積始終相等的三角形,它們是△APK與△DFK.
依題意畫出圖形,如圖所示.
設AP=a,則PB=BF=8-a.
∵PE∥BF,
∴,
即,
∴PK=,
∴DK="PD-PK=" a-=,
∴S△APK=PKPA=a=,S△DFK=DKEF=(8-a)=,
∴S△APK=S△DFK;
(3)當點P從點A出發(fā),沿A→B→C→D的線路,向點D運動時,不妨設點Q在DA邊上,
若點P在點A,點Q在點D,此時PQ的中點O即為DA邊的中點;
若點Q在DA邊上,且不在點D,則點P在AB上,且不在點A.
此時在Rt△APQ中,O為PQ的中點,所以AO=PQ=4.
所以點O在以A為圓心,半徑為4,圓心角為90°的圓弧上.
PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4,圓心角為90°的圓弧,如圖所示:
所以PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為:×2π×4=6π;
(4)點O所經(jīng)過的路徑長為3,OM+OB的最小值為.
如圖,分別過點G、O、H作AB的垂線,垂足分別為點R、S、T,則四邊形GRTH為梯形.
∵點O為中點,
∴OS=(GR+HT)=(AP+PB)=4,即OS為定值.
∴點O的運動路徑在與AB距離為4的平行線上.
∵MN=6,點P在線段MN上運動,且點O為GH中點,
∴點O的運動路徑為線段XY,XY=MN=3,XY∥AB且平行線之間距離為4,點X與點A、點Y與點B之間的水平距離均為2.5.
如圖,作點M關于直線XY的對稱點M′,連接BM′,與XY交于點O.
由軸對稱性質可知,此時OM+OB=BM′最。
在Rt△BMM′中,由勾股定理得:BM′=.
∴OM+OB的最小值為.
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【題目】為了幫助市內一名患“白血病”的中學生,東營市某學校數(shù)學社團15名同學積極捐款,捐款情況如下表所示,下列說法正確的是( )
捐款數(shù)額 | 10 | 20 | 30 | 50 | 100 |
人數(shù) | 2 | 4 | 5 | 3 | 1 |
A. 眾數(shù)是100 B. 中位數(shù)是30 C. 極差是20 D. 平均數(shù)是30
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點A(m,2),B(2,n).過點A作AC平行于x軸交y軸于點C,在y軸負半軸上取一點D,使OD=OC,且△ACD的面積是6,連接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】新區(qū)一中為了了解同學們課外閱讀的情況,現(xiàn)對初三某班進行了“你最喜歡的課外書籍類別”的問卷調查.用“"表示小說類書籍,“”表示文學類書籍,“”表示傳記類書籍,“”表示藝術類書籍.根據(jù)問卷調查統(tǒng)計資料繪制了如下兩副
不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解答以下問題:
(1)本次問卷調查,共調查了 名學生,請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)在接受問卷調查的學生中,喜歡“”的人中有2名是女生,喜歡“”的人中有2名是女生,現(xiàn)分別從喜歡這兩類書籍的學生中各選1名進行讀書心得交流,請用畫樹狀圖或列表法求出剛好選中2名是一男一女的概率.
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【題目】甲、乙兩車從地出發(fā),沿同一路線駛向地.甲車先出發(fā)勻速駛向地,后乙出發(fā),勻速行駛一段時間后,在途中的貨站裝貨耗時半小時.由于滿載貨物,為了行駛安全,速度減少了,結果與甲車同時到達地,甲乙兩車距地的路程與乙車行駛時間之間的函數(shù)圖象如圖所示
(1)的值是________,甲的速度是________.
(2)求乙車距地的路程與之間的函數(shù)關系式;
(3)若甲乙兩車距離不超過時,車載通話機可以進行通話,則兩車在行駛過程中可以通話的總時長為多少小時?
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【題目】如圖,直線與反比例函數(shù)的圖象交于點和點.
(1)求直線和反比例函數(shù)的解析式;
(2)若直線與軸、軸分別交于點、,嘉淇認為,請通過計算說明她的觀點是否正確.
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【題目】在平面直角坐標系中,為原點,點A(,0),點B(0,1),點E是邊AB中點,把繞點A順時針旋轉,得△ADC,點O,B旋轉后的對應點分別為D,C.記旋轉角為.
(Ⅰ)如圖①,當點D恰好在AB上時,求點D的坐標;
(Ⅱ)如圖②,若時,求證:四邊形OECD是平行四邊形;
(Ⅲ)連接OC,在旋轉的過程中,求△OEC面積的最大值(直接寫出結果即可).
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【題目】工廠甲、乙兩個部門各有員工400人,為了解這兩個部門員工的生產(chǎn)技能情況,進行了抽樣調查,請將下列過程補充完整:
收集數(shù)據(jù):
從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工,進行了生產(chǎn)技能測試,測試成績(百分制)如下:
整理、描述數(shù)據(jù):
按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績 人數(shù) 部門 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
甲 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
乙 |
(說明:成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀,70—79分為生產(chǎn)技能良好,60—69分為生產(chǎn)技能合格,60分以下為生產(chǎn)技能不合格)
分析數(shù)據(jù):
兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:
部門 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | 78.3 | 77.5 | |
乙 | 78 | 81 |
得出結論:
.估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)約為 .
.可以推斷出 部門員工的生產(chǎn)技能水平高.理由為 .
(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)
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