【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+2x﹣與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D,對稱軸與x軸交于點E,直線CE交拋物線于點F(異于點C),直線CD交x軸交于點G.
(1)如圖1,求直線CE的解析式和頂點D的坐標(biāo);
(2)如圖1,點P為直線CF上方拋物線上一點,連接PC、PF,當(dāng)△PCF的面積最大時,點M是過P垂直于x軸的直線l上一點,點N是拋物線對稱軸上一點,求FM+MN+NO的最小值;
(3)如圖2,過點D作DI⊥DG交x軸于點I,將△GDI沿射線GB方向平移至△G′D′I′處,將△G′D′I′繞點D′逆時針旋轉(zhuǎn)α(0<α<180°),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到一定度數(shù)時,點G′會與點I重合,記旋轉(zhuǎn)過程中的△G′D′I′為△G″D′I″,若在整個旋轉(zhuǎn)過程中,直線G″I″分別交x軸和直線GD′于點K、L兩點,是否存在這樣的K、L,使△GKL為以∠LGK為底角的等腰三角形?若存在,求此時GL的長.
【答案】(1) D(2,);y=x﹣;(2);(3)存在,GL的長為4或2+2.
【解析】
(1)根據(jù)拋物線解析式求得點C和點D的坐標(biāo),再根據(jù)拋物線對稱軸求得點E的坐標(biāo),運用待定系數(shù)法求得CE的解析式.
(2)根據(jù)題意求得F點的坐標(biāo),過P作PH⊥x軸,交CE于H, 設(shè)P(a,﹣a2+2a﹣) 則H(a,a﹣),將PH和△PCF的面積表示出來,根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可得△PCF的面積最大值.作點M關(guān)于對稱軸的對稱點M',過F點作FG∥MM',易證FGM'M是平行四邊形,FM+MN+ON=GM'+NM'+ON,
根據(jù)兩點之間線段最短可知:當(dāng)O,N,M',G四點共線時,GM'+NM'+ON的值最短,即 FM+MN+ON的值最小,代入數(shù)值即可求得.
(3)用待定系數(shù)法求得直線CD的函數(shù)解析式,求得G點坐標(biāo)和DG的長度,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到一定度數(shù)時,點G′會與點I重合,連接D'I,證得△G'D'I是等邊三角形,分情況討論即可得到GL的長.
解:(1)∵拋物線y=﹣x2+2x﹣與y軸交于點C,
∴C(0,﹣),
∵y=﹣x2+2x﹣=﹣(x﹣2)2+,
∴頂點D(2,),對稱軸x=2,
∴E(2,0),
設(shè)CE解析式y=kx+b,
∴,
解得:,
∴直線CE的解析式:y=x﹣;
(2) ∵直線CE交拋物線于點F(異于點C),
∴x﹣=﹣(x﹣2)2+,
∴x1=0,x2=3,
∴F(3,),
過P作PH⊥x軸,交CE于H,如圖1,
設(shè)P(a,﹣a2+2a﹣) 則H(a,a﹣),
∴PH=﹣a2+2a﹣﹣(a﹣),
=﹣a2+,
∵S△CFP=PH×3=﹣a2+,
∴當(dāng)a=時,S△CFP面積最大,
作點M關(guān)于對稱軸的對稱點M',過F點作FG∥MM',FG=1,即G(4,),如圖2
∵M的橫坐標(biāo)為,且M與M'關(guān)于對稱軸x=2對稱,
∴M'的橫坐標(biāo)為,
∴MM'=1,
∴MM'=FG,且FG∥MM',
∴FGM'M是平行四邊形,
∴FM=GM',
∴FM+MN+ON=GM'+NM'+ON,
根據(jù)兩點之間線段最短可知:當(dāng)O,N,M',G四點共線時,GM'+NM'+ON的值最短,即 FM+MN+ON的值最小,
∴FM+MN+ON=OG==;
(3)如圖3,設(shè)CD解析式y=mx+n,則,
解得:,
∴CD解析式y=x﹣,
∴當(dāng)y=0時,x=1.即G(1,0),
∴DG==2,
∵tan∠DGI==,
∴∠DGI=60°,
∵DI⊥DG,
∴∠GDI=90°,∠GID=30°,
∴GI=2DG=4
∴I(5,0),
∵將△GDI沿射線GB方向平移至△G′D′I′處,將△G′D′I′繞點D′逆時針旋轉(zhuǎn)α(0<α<180°),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到一定度數(shù)時,點G′會與點I重合,連接D'I,
∴G'D'=D'I=DG=2,∠D'G'I=∠DGI=60°,
∴△G'D'I是等邊三角形,
∴G'I=2,G'K=2D'G'=4
∴G'(3,0),
如圖4,當(dāng)I'與I、K重合,△GKL為以∠LGK為底角的等腰三角形,∠LGK=∠GLK=30°,
∴GL=D'G+D'L=4;
如圖5,L與G'重合,△GKL為以∠LGK為底角的等腰三角形,
∴GL=GD'+D'L=2+2
綜上,GL的長為4或2+2.
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【題目】如圖,矩形ABCD在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi),BC與x軸平行,AB=1,點C的坐標(biāo)為(6,2),E是AD的中點;反比例函數(shù)y1=(x>0)圖象經(jīng)過點C和點E,過點B的直線y2=ax+b與反比例函數(shù)圖象交于點F,點F的縱坐標(biāo)為4.
(1)求反比例函數(shù)的解析式和點E的坐標(biāo);
(2)求直線BF的解析式;
(3)直接寫出y1>y2時,自變量x的取值范圍.
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【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,BD⊥AB,交AC的延長線于點D.
(1)E為BD的中點,連結(jié)CE,求證:CE是⊙O的切線;
(2)若AC=3CD,求∠A的大小.
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【題目】如圖,某辦公樓AB的后面有一建筑物CD,當(dāng)光線與地面的夾角是22°時,辦公樓在建筑物的墻上留下高3米的影子CE,而當(dāng)光線與地面夾角是45°時,辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有27米的距離(B,F,C在一條直線上).
(1)求辦公樓AB的高度;
(2)若要在A,E之間掛一些彩旗,請你求出A,E之間的距離.
(參考數(shù)據(jù):sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=x﹣與x軸交點A恰好是二次函數(shù)y2與x軸的其中一個交點,已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=1,并與y軸的交點為D(0,1).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該二次函數(shù)與一次函數(shù)的另一個交點為C點,連接DC,求三角形ADC的面積.
(3)根據(jù)圖象,直接寫出當(dāng)y1>y2時x的取值范圍.
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【題目】2015年2月27日,在中央全面深化改革領(lǐng)導(dǎo)小組第十次會議上,審議通過了《中國足球改革總體方案》,體制改革、聯(lián)賽改革、校園足球等成為改革的亮點.在聯(lián)賽方面,作為國內(nèi)最高水平的聯(lián)賽﹣﹣中國足球超級聯(lián)賽今年已經(jīng)進入第12個年頭,中超聯(lián)賽已經(jīng)引起了世界的關(guān)注.圖9是某一年截止倒數(shù)第二輪比賽各隊的積分統(tǒng)計圖.
(1)根據(jù)圖,請計算該年有_____支中超球隊參賽;
(2)補全圖一中的條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)足球比賽規(guī)則,勝一場得3分,平一場得1分,負(fù)一場得0分,最后得分最高者為冠軍.倒數(shù)第二輪比賽后積分位于前4名的分別是A隊49分,B隊49分,C隊48分,D隊45分.在最后一輪的比賽中,他們分別和第4名以后的球隊進行比賽,已知在已經(jīng)結(jié)束的一場比賽中,A隊和對手打平.請用列表或者畫樹狀圖的方法,計算C隊奪得冠軍的概率是多少?
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【題目】某校為了了解全校400名學(xué)生參加課外鍛煉的情況,隨機對40名學(xué)生一周內(nèi)平均每天參加課外鍛煉的時間進行了調(diào)查,結(jié)果如下:(單位:分)
40 21 35 24 40 38 23 52 35 62 36 15 51 45 40 42 40 32 43 36
34 53 38 40 39 32 45 40 50 45 40 40 26 45 40 45 35 40 42 45
(1)補全頻率分布表和頻率分布直方圖.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
4.5﹣22.5 | 2 | 0.050 |
22.5﹣30.5 | 3 | |
30.5﹣38.5 | 10 | 0.250 |
38.5﹣46.5 | 19 | |
46.5﹣54.5 | 5 | 0.125 |
54.5﹣62.5 | 1 | 0.025 |
合計 | 40 | 1.000 |
(2)填空:在這個問題中,總體是____,樣本是____.由統(tǒng)計結(jié)果分析的,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是38.35(分),眾數(shù)是____,中位數(shù)是_____.
(3)如果描述該校400名學(xué)生一周內(nèi)平均每天參加課外鍛煉時間的總體情況,你認(rèn)為用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一個量比較合適?
(4)估計這所學(xué)校有多少名學(xué)生,平均每天參加課外鍛煉的時間多于30分?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與雙曲線交于點A,過點作AO的平行線交雙曲線于點B,連接AB并延長與y軸交于點,則k的值為______.
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【題目】如圖,在△ABC中.AB=AC,AD⊥BC于D,作DE⊥AC于E,F是AB中點,連EF交AD于點G.
(1)求證:AD2=ABAE;
(2)若AB=3,AE=2,求的值.
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