Question

19．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+mx+n與x軸交于A （-2，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線對(duì)稱軸為直線x=3，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在線段BC上從點(diǎn)C開始向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），速度為每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F．求四邊形CDBF的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)，直接求出拋物線解析式；
（2）先確定出直線BC：y=-$\frac{1}{2}$x+4，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，表示出FP用面積的和，求出四邊形CDBF的面積和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的關(guān)系，最后用相似三角形即可．

解答 （1）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=3，
∴-$\frac{m}{{2×（-\frac{1}{4}）}}=3$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
把A（-2，0）代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+n中，得n=4，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
（2）易得B（8，0），C（0，4）
設(shè)直線BC：y=kx+b，（k≠0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直線BC：y=-$\frac{1}{2}$x+4，
設(shè)點(diǎn)P（p，-$\frac{1}{2}$p+4），
F（p，-$\frac{1}{4}$p²+$\frac{3}{2}$p+4），
∴$FP=-\frac{1}{4}{p^2}+\frac{3}{2}p+4-（{-\frac{1}{2}p+4}）=-\frac{1}{4}{p^2}+2p$，
∴S_{四邊形CDBF}=S_△CDB+S_△CBF
=$\frac{1}{2}DB•OC+\frac{1}{2}FP•OB$
=$\frac{1}{2}×5×4+\frac{1}{2}×（{-\frac{1}{4}{p^2}+2p}）×8=-{p^2}+8p+10$，
在Rt△BCO中，BC=$\sqrt{C{O}^{2}+B{O}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，


如圖，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，
∴PG∥OB
∴△PCG∽△BCO，
∴$\frac{PC}{BC}=\frac{PG}{OB}$，
∴$\frac{\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}}=\frac{p}{8}$，
∴p=2t
∴S_{四邊形CDBF}=-4t²+16t+10．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)和判定，平面坐標(biāo)系中幾何圖形面積的求法，解本題的關(guān)鍵是四邊形CDBF的面積和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的關(guān)系．