Question

如圖，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，∠B=∠D=30°．
（1）判斷AD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AC=16，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）AD與圓O相切，理由為：
連接OA，
∵圓周角∠B與圓心角∠O都對(duì)弧AC，∠B=∠D=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
在△ADO中，∠O=60°，∠D=30°，
∴∠DAO=90°，
∴OA⊥AD，又OA為圓的半徑，
則AD與圓O相切；

（2）∵OC=OA，且∠O=60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴OA=AC=16，
在Rt△ADO中，tanO=tan60°=，即=，
則AD=16．
分析：（1）AD與圓O相切，理由為：連接AD，由同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半，求出∠O的度數(shù)，在三角形ADO中，由∠D與∠O的度數(shù)求出∠DAO為直角，即OA與AD垂直，由OA為圓的半徑，可得出AD為圓O的切線；
（2）由∠O為60度，且OC=OA，得到三角形AOC為等邊三角形，由AC的長(zhǎng)求出OA的長(zhǎng)，在直角三角形ADO中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tanO，將OA的長(zhǎng)代入即可求出AD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．