Question

【題目】如圖，在中， ．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t>0）．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、．

（1）求證： ；

（2）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的值；

如果不能，說(shuō)明理由．

（3）當(dāng)為何值時(shí)， 為直角三角形？直接寫出t值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）t=秒或4秒

【解析】試題分析：（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，證出DF=t=AE；
（2）先證明四邊形AEFD為平行四邊形．得出AB=5，再求出AC=2AB=10，AD=AC-DC=10-2t，若△DEF為等邊三角形，則AEFD為菱形，得出AE=AD，t=10-2t，求出t的值；

（3）分三種情況討論：①∠EDF=90°時(shí)；②∠DEF=90°時(shí)；③∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在；分別求出t的值即可．

試題解析：

（1）證明：據(jù)題意： ，

又∵，

∴

∴AE=DF

（2）解：四邊形能夠成為菱形

理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF

又AE=DF，

∴四邊形為平行四邊形

當(dāng)AE=AD時(shí)，平行四邊形是菱形

在Rt△中， ，

∴

設(shè)，則

則

即

解得：

∴，

又∵，

∴

帽AE=AD得：

解得：

由得， 得

而

當(dāng)時(shí)

，

即

當(dāng)時(shí)，平行四邊形是菱形

（3）解：①∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE

即10﹣2t=2t，t=

②∠DEF=90°時(shí)，由（2）四邊形AEFD為平行四邊形知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°

∵∠A=90°﹣∠C=60°，

∴AD=AE

即10﹣2t=t，t=4

③∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在

綜上所述，當(dāng)t= 秒或4秒時(shí)，△DEF為直角三角形.