Question

已知直線y=x+4與y軸交于點C，與x軸交于點A．
（1）求線段AC的長度；
（2）若拋物線y=-

1

2

x2+bx+c過點C、A，且與x軸交于另一點B，將直線AC沿y軸向下平移m個單位長度，若平移后的直線與x軸交于點D，與拋物線交于點N（N在拋物線對稱軸的左邊），與直線BC交于點E．
①是否存在這樣的m，使得△CAD是以AC為底的等腰三角形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；
②在直線AC平移的過程中，是否存在m值，使得△CDE的面積最大．若存在，請求出m值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線AC的解析式，可得到A、C的坐標，進而利用勾股定理求得線段AC的長．
（2）①根據A、C的坐標，可利用待定系數法確定該拋物線的解析式，然后用m表示出平移后的直線解析式，由（1）知△OAC是等腰直角三角形，若△CAD是以AC為底的等腰三角形，那么點D必為線段CA的垂直平分線與x軸的交點，即D、O重合，由此求得m的值，進而可確定平移后的直線解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得N點的坐標．
②此題應分兩種情況考慮：
1）當D在B點左側時，即0＜m≤6時；過E作EF⊥x軸于F，根據拋物線和平移后的直線解析式，可得到B、D的坐標，進而可求得BD、BA的長，由于平移前后的直線互相平行，則可證得△BDE∽△BAC，因此BD：BA=EF：OC，由此可求得EF的表達式，進而可求出△BDC和△BDE的面積，那么兩個三角形的面積差即為△CDE的面積，由此可得關于S、m的函數關系式，根據函數的性質即可判斷出S是否具有最大值以及對應的m的值；
2）當D在B點右側時，即m＞6時，方法同上．

解答：解：（1）當x=0時，y=4，
∴C（0，4）（1分）
當y=0時，x=-4，
∴A（-4，0）（2分）
在Rt△AOC中，OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=

OA2+OC2

=

42+42

=4

2

．（3分）

（2）①拋物線經過點A、C，則：

- 1 2 ×(-4)2-4b+c=0 c=4

，
解得

b=-1 c=4

；
∴拋物線所對應的函數關系式為y=-

1

2

x2-x+4；（4分）
∵△CAD是以AC為底的等腰三角形，
∴點D在AC的垂直平分線上，
此時點D與原點重合，即D（0，0），（5分）
∴m=OC=4；
則平移后的直線所對應的函數關系式為y=x，（6分）
∵點N是拋物線y=-

1

2

x2-x+4與直線y=x的交點，
∴設點N（a，a），
則a=-

1

2

a2-a+4，
解得a=-2±2

3

；
∵點N在拋物線對稱軸的左側，
∴N（-2-2

3

，-2-2

3

）；（7分）
②設△CDE的面積為S，
在y=-

1

2

x2-x+4中，令y=0，
解得x=-4或x=2，
∴B（2，0），AB=6，
當點D在點B的左側時，即當0＜m≤6時（如圖），
平移后的直線為y=x+4-m，
當y=0時，x=m-4．
∴D（m-4，0），
∴BD=2-（m-4）=6-m；（8分）
過點E作EF⊥AB于點F，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴

EF

OC

=

BD

BA

，∴

EF

4

=

6-m

6

，
解得EF=

12-2m

3

；（9分）
∴S=S△BCD-S△BDE=

1

2

•(6-m)×4-

1

2

•(6-m)•

12-2m

3

=-

1

3

m2+2m=-

1

3

(m-3)2+3；
∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線m=3，
∵頂點（3，3）的橫坐標在范圍0＜m≤6內，
∴當m=3，S有最大值為3；（10分）
當點D在點B的右側時，即當m＞6時（如圖），
平移后的直線所對應的函數關系式為y=x+4-m，
當y=0時，x=m-4，
∴D（m-4，0），
∴BD=m-4-2=m-6；
過點E作EG⊥AB于點G，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴

EG

OC

=

BD

BA

，∴

EG

4

=

m-6

6

，
解得EG=

2m-12

3

；（11分）
∴S=S△BCD+S△BDE=

1

2

•(m-6)×4+

1

2

•(m-6)•

2m-12

3

=

1

3

m2-2m=

1

3

(m-3)2-3；
∴拋物線開口向上，對稱軸為m=3，
∵在拋物線對稱軸的右側，S隨著m的增大而增大，
∴當m＞6時，S沒有最大值；（12分）
綜上得，在直線AC平移的過程中，存在m值，當m=3，S有最大值為3，使得△CDE的面積最大．（13分）

點評：此題考查的知識點有：勾股定理、二次函數解析的確定、相似三角形的判定和性質以及圖形面積的求法等重要知識；在求圖形面積的最大（�。﹩栴}時，將其轉化為二次函數的最值問題是常用的方法．