Question

11．已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-4x+c的頂點(diǎn)為D，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，6），連接BC、CD、BD．
（1）求c的值；
（2）求證：∠CBD=90°；
（3）P為y軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，連接PC，問：是否存在點(diǎn)P使得PC與y軸所夾的銳角等于∠BCD？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將C（0，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²-4x+c，得出c的值即可；
（2）將y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6化為頂點(diǎn)式得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，令y=0，求得點(diǎn)A，B坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理得BD，BC，CD，由勾股定理的逆定理得出∠CBD=90°；
（3）先假設(shè)存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于Q，則tan∠PCQ=$\frac{PQ}{CQ}$，根據(jù)∠PCQ=∠BCD，得出$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)PQ=x，則CQ=3x，分兩種情況討論：①當(dāng)P在直線y=6的下方時，則P（x，6-3x），由點(diǎn)P在拋物線上，解得x的值，得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-4x+c與y軸交于點(diǎn)C（0，6），
∴將C（0，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²-4x+c，
得c=6，
∴c的值為6；
（2）y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6=$\frac{1}{2}$（x-4）²-2，
∴D（4，-2），
令y=0，得$\frac{1}{2}$（x-4）²-2=0，
解得x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0）B（6，0）；
由勾股定理，得BD=2$\sqrt{2}$，BC=6$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{5}$，
∴BD²+BC²=（2$\sqrt{2}$）²+（6$\sqrt{2}$）²=80=CD²，
∴∠CBD=90°；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于Q，則tan∠PCQ=$\frac{PQ}{CQ}$，
∵tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，∠PCQ=∠BCD，
∴tan∠PCQ=tan∠BCD=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)PQ=x，則CQ=3x，分兩種情況討論：
①當(dāng)P在直線y=6的下方時，P（x，6-3x）．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴$\frac{1}{2}$x²-4x+6=6-3x，
解得x₁=0（舍去），x₂=2，
∴P（2，0）；
②當(dāng)P在直線y=6的上方時，P（x，6+3x）．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴$\frac{1}{2}$x²-4x+6=6+3x，
解得x₁=0（舍去），x₂=14，
∴P（14，48），
綜上所述：存在點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（14，48），使得PC與y軸所夾的銳角等于∠BCD．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．