Question

已知拋物線y=-x²+（1-2a）x-a²（a≠0），與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），（x₁＜x₂）．
（1）求a的取值范圍，并說明A、B兩點(diǎn)都在y軸的右側(cè)；
（2）若拋物線與y軸交于點(diǎn)C，且OA+OB=3OC，求a的值．

Answer 1

解：（1）已知拋物線y=-x²+（1-2a）x-a²（a≠0），
與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）；
∴設(shè)y=0，-x²+（1-2a）x-a²=0，
即：x²-（1-2a）x+a²=0
∴△=[-（1-2a）]²-4×a²＞0，
∴a＜且a≠0，
∴2a＜；
∵x₁+x₂=1-2a＞0，x₁x₂=a²＞0，
∴A、B兩點(diǎn)都在y軸的右側(cè)；

（2）∵A、B兩點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，
∴OA=x₁，OB=x₂；
設(shè)x=0，則y=-a²，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-a²），
∴OC=a²；
∵OA+OB=3OC，
∴1-2a=3a²，
∴a₁=，a₂=-1；
∵a＜且a≠0，
∴a=-1．
分析：（1）由于拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，那么根的判別式△＞0，可據(jù)此求出a的取值范圍；
根據(jù)韋達(dá)定理即可求出x₁+x₂及x₁x₂的值，根據(jù)所求的a的取值范圍來判斷上述兩式的符號，進(jìn)而可證得所求的結(jié)論；
（2）根據(jù)拋物線的解析式，易得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)韋達(dá)定理用a表示出OA+OB及OC的長，進(jìn)而根據(jù)題目給出的等量關(guān)系式求出a的值．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識的綜合應(yīng)用能力．