Question

已知：拋物線C：y=-x²-（m-4）x+3（m-1）與x軸交于A、B兩點．若m≤-1且直線l₁：y=-

m

2

x-1經(jīng)過點A，
（1）求拋物線C的函數(shù)解析式；
（2）直線l₁：y=-

m

2

x-1繞著點A旋轉(zhuǎn)得到直線l₂：y=kx+b，設直線l₂與y軸交于點D，與拋物線C交于點M（M不與點A重合），當

MA

AD

≤

3

2

時，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-因式分解法,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：分類討論

分析：（1）運用因式分解法可求得拋物線與x軸交點為（1-m，0）、（3，0），然后分兩種情況（①點A為（1-m，0），②點A為（3，0））進行討論，求出符合要求的m的值，就可得到拋物線C的函數(shù)解析式；
（2）由（1）可知：點A為（2，0），OA=2．過點M作MH⊥x軸于點H，易證△MHA∽△DOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得AH=3．然后只需求出兩個臨界位置（①

MA

DA

=

3

2

且點H在點A的左邊，②

MA

DA

=

3

2

且點H在點A的右邊）下b的值，就可解決問題．

解答：解：（1）令y=0，得-x²-（m-4）x+3（m-1）=0，
即x²+（m-4）x-3（m-1）=0，
則（x+m-1）（x-3）=0，
∴x₁=1-m，x₂=3．
①若點A為（1-m，0），
由直線y=-

m

2

x-1經(jīng)過點A得：-

m

2

（1-m）-1=0，
解得：m₁=2，m₂=-1．
∵m≤-1，∴m=-1．
②若點A為（3，0），
由直線y=-

m

2

x-1經(jīng)過點A得：-

m

2

×3-1=0，
解得：m=-

2

3

∵m≤-1，∴m≠-

2

3

．
綜上所述：m=-1，
∴拋物線C的函數(shù)解析式為y=-x²+5x-6．

（2）由（1）可知：點A為（2，0），OA=2．
過點M作MH⊥x軸于點H，則有MH∥OD，
∴△MHA∽△DOA，
∴

MA

DA

=

AH

AO

．
①當

MA

DA

=

3

2

且點H在點A的左邊時，
則有AH=3．
則有OH=AH-OA=3-2=1，
∴x_M=-1，
∴y_M=-（-1）²+5×（-1）-6=-12．
此時直線y=kx+b經(jīng)過點A（2，0）、M（-1，-12），
∴

2k+b=0 -k+b=-12

，
解得：

k=4 b=-8

，
②當

MA

DA

=

3

2

且點H在點A的右邊時，
則有AH=3．
則有OH=OA+AH=2+3=5，
∴x_M=5，
∴y_M=-5²+5×5-6=-6．
此時直線y=kx+b經(jīng)過點A（2，0）、M（5，-6），
∴

2k+b=0 5k+b=-6

，
∴

k=-2 b=4

．
綜上所述：當

MA

AD

≤

3

2

時，b的取值范圍為-8≤b≤4．

點評：本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、拋物線上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、運用因式分解法解一元二次方程等知識，運用因式分解法求出拋物線與x軸的交點是解決第（1）小題的關鍵，考慮臨界位置是解決第（2）小題的關鍵．