Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△ACP的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M為拋物線第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=（x﹣）2﹣，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣），（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，－1）.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）確定出當(dāng)△ACP的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P就是BC和對(duì)稱軸的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．

（3）作出輔助線，利用tan∠MDN=2或，建立關(guān)于點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的方程，求出即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，

∴

∴，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣1=（x﹣）2﹣，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣），

（2）如圖1，

連接BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，連接AC，AP，

∵點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴PA=PB，

∵B（2，0），C（0，﹣1），

∴直線BC解析式為y=x﹣1，

∵點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣，

∴P（，﹣），

（3）設(shè)M（x， ），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)N，則點(diǎn)N（x， ）

∴==

故當(dāng)x=1時(shí)，S△BMC面積最大，此時(shí)，

所以當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，－1）.