【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,點(diǎn)D在線段AB上,以AD為直徑的⊙OBC相交于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)F,B=BAE=30°.

(1)求證:BC是⊙O的切線;

(2)若AC=3,求⊙O的半徑r;

(3)在(1)的條件下,判斷以A、O、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為哪種特殊四邊形,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)O的半徑為2;(3)四邊形OAFE是菱形,理由見(jiàn)解析.

【解析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得出∠AOE=60°,進(jìn)而得出∠BEO=90°,即可得出結(jié)論;

(2)先求出∠AEC=60°,利用銳角三角函數(shù)求出AE,最后用三角函數(shù)即可得出結(jié)論;

(3)先判斷出△AOF是等邊三角形,得出OA=AF,∠AOF=60°,進(jìn)而判斷出△OEF是等邊三角形,即可判斷出四邊相等,即可得出結(jié)論.

(1)如圖1,

連接OE,∴OA=OE,

∴∠BAE=∠OEA,

∵∠BAE=30°,

∴∠OEA=30°,

∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°,

在△BOE中,∠B=30°,

∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°,

∴OE⊥BC,

∵點(diǎn)E在⊙O上,

∴BC是⊙O的切線;

(2)如圖2,

∵∠B=∠BAE=30°,

∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°,

在Rt△ACE中,AC=3,sin∠AEC=,

∴AE=,

連接DE,∵AD是⊙O的直徑,

∴∠AED=90°,

在Rt△ADE中,∠BAE=30°,cos∠DAE=

∴AD=,

∴⊙O的半徑r=AD=2;

(3)以A、O、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,理由:如圖3,

在Rt△ABC中,∠B=30°,

∴∠BAC=60°,

連接OF,∴OA=OF,

∴△AOF是等邊三角形,

∴OA=AF,∠AOF=60°,

連接EF,OE,

∴OE=OF,

∵∠OEB=90°,∠B=30°,

∴∠AOE=90°+30°=120°,

∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°,

∵OE=OF,

∴△OEF是等邊三角形,

∴OE=EF,

∵OA=OE,

∴OA=AF=EF=OE,

∴四邊形OAFE是菱形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知⊙O的半徑是2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分面積為( 。

A. π﹣2 B. π﹣ C. π﹣2 D. π﹣

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn),分別表示﹣40,20,甲、乙兩只螞蟻分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),甲沿線段AB方向以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),甲到達(dá)點(diǎn)B處時(shí)運(yùn)動(dòng)停止;乙沿線段BA方向以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng).

1)求甲、乙第一次相遇點(diǎn)所表示的數(shù).

2)求經(jīng)過(guò)多少秒時(shí),甲、乙相距28個(gè)單位長(zhǎng)度?

3)若乙到達(dá)A點(diǎn)后立刻掉頭追趕甲(速度保持不變),則在甲到達(dá)B點(diǎn)前,甲、乙是否還能再次相遇?若能,求出相遇點(diǎn)所表示的數(shù);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某商家計(jì)劃平均每天銷(xiāo)售滑板車(chē)100輛,但實(shí)際的銷(xiāo)售量與計(jì)劃量有出入,下表是某周的銷(xiāo)售情況(超額記為正,不足記為負(fù)):

星期

與計(jì)劃數(shù)的差值

1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該商家前三天共銷(xiāo)售滑板車(chē)______輛;(直接寫(xiě)答案)

2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷(xiāo)售量最多的一天比銷(xiāo)售量最少的-天多銷(xiāo)售多少輛?

3)本周實(shí)際銷(xiāo)售量是多少?

4)該商家實(shí)行每周計(jì)件工資制,每銷(xiāo)售一輛車(chē)可得40元,若超額完成任務(wù),則超過(guò)部分每輛另獎(jiǎng)20元,少銷(xiāo)售一輛扣25元,那么該商家的銷(xiāo)售人員這一周的工資總額是多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,把△ABC紙片沿DE折疊,當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí),

(1)設(shè)∠AED的度數(shù)為x,∠ADE的度數(shù)為y,那么∠1、∠2的度數(shù)分別是多少?(用含有xy的代數(shù)式表示)

(2)∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變,請(qǐng)找出這個(gè)規(guī)律,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知A(﹣2,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx﹣1過(guò)A、B兩點(diǎn),并與過(guò)A點(diǎn)的直線y=﹣x﹣1交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式及對(duì)稱(chēng)軸;

(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)點(diǎn)My軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作直線AC的垂線,垂足為N.問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)N,使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似,若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知在數(shù)軸上有兩點(diǎn),點(diǎn)表示的數(shù)為,點(diǎn)點(diǎn)的左邊,且.若有一動(dòng)點(diǎn)從數(shù)軸上點(diǎn)出發(fā),以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒個(gè)單 位長(zhǎng)度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,解決以下問(wèn)題:

寫(xiě)出數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù);

若點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),問(wèn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒與點(diǎn)相距個(gè)單位長(zhǎng)度?

探索問(wèn)題:若的中點(diǎn),的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,探索線段 與線段的數(shù)量關(guān)系(寫(xiě)出過(guò)程).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位,A、BC均在格點(diǎn)上.

過(guò)點(diǎn)C畫(huà)線段AB的平行線CD

過(guò)點(diǎn)A畫(huà)線段BC的垂線,垂足為E;

過(guò)點(diǎn)A畫(huà)線段AB的垂線,交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

線段AE的長(zhǎng)度是點(diǎn)______到直線______的距離;

線段AEBF、AF的大小關(guān)系是______連接

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CDABH,過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于F,切點(diǎn)為G,連接AGCDK

1)如圖1,求證:KE=GE;

2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=ACH,求證:CAFE;

3)如圖3,在(2)的條件下,連接CGAB于點(diǎn)N,若sinE=AK=,求CN的長(zhǎng).

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