Question

【題目】如圖，拋物線C1：y＝（x+）2，平移拋物線y＝﹣x2，使其頂點D在拋物線C1位于y軸右側的圖象上，得到拋物線C2，拋物線C2交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，設點D的橫坐標為a．

（1）當OC＝2時，求拋物線C2的解析式；

（2）在拋物線的C2的對稱軸上是否存在一點P，使得AP+CP的長最短？若存在，求出點P的坐標（用含a的代數式表示）；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，連接OP，若OP⊥BC，求此時a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，點P（a，a+）；（3）a＝．

【解析】

（1）拋D在拋物線C1位于y軸右側的圖象上，則點D[a，（a）2]，則拋物線C2的表達式為：y=﹣（x﹣a）2+（a）2=﹣x2+2ax+（a），即可求解；

（2）點B是點A關于對稱軸的對稱點，則BC交函數對稱軸于點P，點P為所求點，即可求解；

（3）OP⊥BC，直線BC的表達式為：yx+（a），則直線OP的表達式中的k值為2，即可求解．

（1）拋D在拋物線C1位于y軸右側的圖象上，則點D[a，（a）2]，則拋物線C2的表達式為：y=﹣（x﹣a）2+（a）2=﹣x2+2ax+（a），OC=2=a，解得：a，故拋物線的表達式為：y=﹣x2x+2；

（2）點B是點A關于對稱軸的對稱點，則BC交函數對稱軸于點P，點P為所求點．

點A（，0），則點B（2a，0），點C（0，a），將點B、C的坐標代入一次函數表達式并解得：直線BC的表達式為：yx+（a），當x=a時，ya，故點P（a，a）；

（3）OP⊥BC，直線BC的表達式為：yx+（a），則直線OP的表達式中的k值為2，即：2，解得：a．