Question

已知：四邊形ABCD中，∠DAB=120°，對角線AC平分∠DAB
（1）當(dāng)∠B=∠D=90°時．求證：AB+AD=AC；
（2）當(dāng)∠B+∠D=180°時，線段AB，AD，AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠ACB=∠ACD=30°，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得AB+AD=AC；
（2）首先過C點分別作AD和AB延長線的垂線段，垂足分別為E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B與∠D互補(bǔ)，可證得△CED≌△CFB，則可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，則可得線段AB、AD、AC的數(shù)量關(guān)系為AB+AD=AC．

解答：證明：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°．
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°．
∴AB=AD=

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2

AC，即AB+AD=AC．

（2）AB+AD=AC．
證明如下：如圖2，過C點分別作AD和AB延長線的垂線段，垂足分別為E、F．
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF．
∵∠B+∠CDA=180°，∠CDA+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠B．
在△CED與△CFB中，

∠CDE=∠B ∠CED=∠CFB CE=CF

∴△CED≌△CFB（AAS）．
∴ED=BF．
∴AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+ED=AE+AF．
∵AC為角平分線，∠DAB=120°，
∴∠ECA=∠FCA=30°，
∴AE=AF=

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AC，
∴AE+AF=AC，
∴AB+AD=AE+AF=AC．
∴AB+AD=AC．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．