Question

如圖，在?ABCD中，CE⊥AD于點(diǎn)E，且CB=CE，點(diǎn)F為CD邊上的一點(diǎn)，CB=CF，連接BF交CE于點(diǎn)G．
（1）若∠D=60°，CF=2

3

，求CG的長；
（2）求證：AB=ED+CG．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，然后得到∠GBC=30°，利用tan∠GBC=

GC

BC

=

3

3

=

GC

2 3

求得GC=2；
（2）延長EC到點(diǎn)H，連接BH，證得△HBC≌△DCE，根據(jù)各角之間的關(guān)系得到∠4=∠GBH，從而得到BH=GH，證得DC=ED+CG．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵CE⊥AD，∴∠CED=90°=∠ECB，
∵∠D=60°，∠DEC=90°，
∴∠ECD=30°，∠BCF=120°，
∵BC=CF，
∴∠GBC=30°，
在Rt△BCG中，∠GCB=90°，
∴tan∠GBC=

GC

BC

=

3

3

=

GC

2 3

，
∴GC=2；

（2）延長EC到點(diǎn)H，使得DE=HC，連接BH，
∵在△HBC和△DCE中，

DE=HC ∠DEC=∠HCB EC=EB

，
∴△HBC≌△DCE，
∴∠1=∠3，BH=CD，
∵BC=CF，
∴∠2=∠5，
∵∠GBH=∠2+∠1，∠4=∠3+∠5，
∴∠4=∠GBH，
∴BH=GH，
∴DC=ED+CG，
∵DC=AB，
∴AB=ED+CG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分、對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，牢記平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，難度中等．