Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點F為DC的中點，E為BC上的一點，且EC＝BC．請說明∠EFA＝90°．

Answer 1

答案：
解析：

分析：要想說明∠EFA＝90°，只要說明AF2＋EF2＝AE2即可，為了方便地表示線段的長度，可以設出正方形的邊長，然后再表示出其他線段的長度． 　　解：設正方形ABCD的邊長為4a，則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a． 　　在Rt△ABE中，由勾股定理，得 　　AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2． 　　在Rt△ADF中，由勾股定理，得 　　AF2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2． 　　在Rt△ECF中，由勾股定理，得 　　EF2＝EC2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2． 　　在△AFE中，AF2＋EF2＝20a2＋5a2＝25a2． 　　又因為AE2＝25a2， 　　所以AF2＋EF2＝AE2． 　　由勾股定理的逆定理可知：△AFE為直角三角形，且AE為最大邊， 　　所以∠EFA＝90°． 　　點評：本題在△ABE、△ADF、△ECF中運用勾股定理分別計算AE2、AF2、EF2的值，而在△AFE中利用AF2＋EF2＝AE2來判定△AFE是直角三角形，則運用的是勾股定理的逆定理．為了簡化計算，無論是運用勾股定理還是其逆定理，都不必求出線段的長，只需求出線段長的平方即可．