Question

2．如圖，一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（2，m）．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，且△DBC的面積等于6，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）請(qǐng)直接寫出不等式$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$成立的x取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將點(diǎn)A（2，m）一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2，求得m，在把A（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中，即可得到結(jié)論；
（2）可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由S_△DBC=6，列方程即可得到結(jié)論；
（3）解方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（2，m）在一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2的圖象上，
∴m=$\frac{1}{2}$×2+2=3，
∴A（2，3），
∵一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（2，3），
∴k=6，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{6}{x}$；

（2）設(shè)D（m，$\frac{6}{m}$），
對(duì)于一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2，令y=0，則$\frac{1}{2}$x+2=0，
∴x=-4，
∴B（-4，0），
∵AC⊥x軸，
∴C（2，0），
∴BC=6，
∵△DBC的面積等于6，
∴$\frac{1}{2}$×6×|$\frac{6}{m}$|=6，
∴m=±3，
∴D（3，2），或（-3，-2）；

（3）解$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+2=y}\\{\frac{6}{x}=y}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交點(diǎn)為（-6，1），（2，3），
∴不等式$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$成立的x取值范圍是x＜-6，或0＜x＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用待定系數(shù)法求解析式是解此題的關(guān)鍵．