Question

2、如圖所示，有一個(gè)正方體形的鐵絲架，把它的側(cè)棱中點(diǎn)I、J、K、L也用鐵絲連上．
（1）現(xiàn)在一個(gè)螞蟻想沿著鐵絲從A點(diǎn)爬到G點(diǎn)，問(wèn)最近的路線一共有幾條？并用字母把這些路線表示出來(lái)（用所經(jīng)過(guò)的連接點(diǎn)字母表示，譬如螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)I點(diǎn)L點(diǎn)，最后到達(dá)H點(diǎn)，這樣的路線用AILH表示）．
（2）螞蟻是否可能從A點(diǎn)出發(fā)，沿著鐵絲經(jīng)過(guò)每一個(gè)連接點(diǎn)恰好一次，最后到達(dá)G點(diǎn)？如果可能，請(qǐng)找出一條這樣的路線；如果不可能，說(shuō)明為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)乘法原理來(lái)解題，從A點(diǎn)到G做到不重不漏，首先確定與A點(diǎn)相連的節(jié)點(diǎn)，與G點(diǎn)相連的節(jié)點(diǎn)，再向外擴(kuò)展找對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
（2）用反證法來(lái)證明不可能．假設(shè)可能，將所有連接點(diǎn)染上黑、白兩色，凡與黑點(diǎn)相鄰的都是白點(diǎn)，凡與白點(diǎn)相鄰的都是黑點(diǎn)．再通過(guò)黑白點(diǎn)的奇偶性來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證，與假設(shè)矛盾．

解答：解：（1）一共有12條：ABCKG、ABJKG、ABJFG、ADCKG、ADLKG、ADLHG、AIJKG、AIJFG、AILKG、AILHG、AIEFG、AIEHG； 
（2）不可能．
用反證法證明．假設(shè)可能，那么將所有連接點(diǎn)染上黑、白兩色，凡與黑點(diǎn)相鄰的都是白點(diǎn)，凡與白點(diǎn)相鄰的都是黑點(diǎn)．
若A是白點(diǎn)，則黑白點(diǎn)的分布如下表：
 
由于A與G都是白點(diǎn)，所以螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，依次經(jīng)過(guò)其它各點(diǎn)，到達(dá)G點(diǎn)的路線應(yīng)為白→黑→白→黑→…→黑→白．其中有奇數(shù)個(gè)白點(diǎn)，這與圖中共有偶數(shù)個(gè)白點(diǎn)相矛盾．
∴螞蟻不可能從A點(diǎn)出發(fā)沿著鐵絲經(jīng)過(guò)每一個(gè)連接點(diǎn)恰好一次，最后到達(dá)G點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查加法原理與乘法原理．注意螞蟻行走順序，做到不重不漏，本題實(shí)際上運(yùn)用了排列組合中的乘法原理．