Question

4．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接CP，將四邊形ABCP沿CP所在直線翻折，落在四邊形EFCP的位置，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，邊CF與邊AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G．
（1）當(dāng)AP=2時(shí)，求PG的值；
（2）如果AP=x，F(xiàn)G=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）連結(jié)BP并延長與線段CF交于點(diǎn)M，當(dāng)△PGM是以MG為腰的等腰三角形時(shí)，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)PG=a，則在RT△DGC中，CG=a，DG=3-a，CD=2，利用勾股定理即可解決問題．
（2）在RT△DGC中，CD²+DG²=CG²，得到（y-x）²+2²=（5-y）²，由此即可解決問題．
（3）如圖1中，分兩種情形討論即可，①M(fèi)G=MP，只要證明△APB≌△DGC，得到AP=DG，列出方程即可，②MG=PG，只要證明△ABP，△DPC，△BPC均為直角三角形，根據(jù)AP²+AB²+DP²+CD²=BC²，列出方程即可．

解答 （1）由題意得：四邊形ABCP與四邊形EFCP全等．
∴∠BCP=∠FCP．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCP=∠DPC，
∴∠DCP=∠FCP，
∴PG=CG，
設(shè)PG=a，
則在RT△DGC中，CG=a，DG=3-a，CD=2，且CD²+DG²=CG²，
∴2²+（3-a）²=a²，解得：a=$\frac{13}{6}$，
即PG=$\frac{13}{6}$．
（2）由題意得：CF=BC=5，
∴CG=5-y，
∴PG=5-y，
∴DG=5-（5-y）-x=y-x，
∵在RT△DGC中，CD²+DG²=CG²，
∴（y-x）²+2²=（5-y）²，
∴y=$\frac{21-{x}^{2}}{10-2x}$，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=$\frac{21-{x}^{2}}{10-2x}$，（0＜x≤3）
（3）∵△PGM是以MG為腰的等腰三角形，
∴MG=MP或MG=PG，如圖1中，
①當(dāng)MG=MP時(shí)，
∵∠MPG=∠MGC，
∵∠APB=∠MPG，∠MGP=∠DGC，
∴∠APB=∠DGC，
在△APB和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠APB=∠DGC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△DGC，
∴AP=DG，
∴y=2x，
∴$\frac{21-{x}^{2}}{10-2x}$=2x，化簡整理得：3x²-20x+21=0，解得：x=$\frac{10±\sqrt{37}}{3}$，
∵x=$\frac{10+\sqrt{37}}{3}$＞3不符合題意舍去，
∴x=$\frac{10-\sqrt{37}}{3}$．
②當(dāng)MG=PG時(shí)，
∵∠MPG=∠PMG，
∵∠MPG=∠MBC，
∴∠MBC=∠PMC，
∴CM=CB，（即點(diǎn)M與點(diǎn)F重合）．
又∵∠BCP=∠MCP，
∴CP⊥BP，
∴△ABP，△DPC，△BPC均為直角三角形．
∴AP²+AB²+DP²+CD²=BC²，即x²+2²+（5-x）²+2²=5²，
化簡整理得：x²-5x+4=0，解得：x=1或4．
∵x=4＞3不符合題意舍棄，
∴x=1．
補(bǔ)充：由PG=FG可得y-5=y，y=$\frac{5}{2}$，代入（2）中關(guān)系式即可求出x．
綜上所述：當(dāng)△PGM是以MG腰2的等腰三角形時(shí)，AP=$\frac{10-\sqrt{37}}{3}$或1．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)利用勾股定理構(gòu)建方程，學(xué)會(huì)分類討論，注意考慮問題要全面，不能漏解，屬于中考壓軸題．