Question

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC中點，DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求EF的長．

Answer 1

解：方法一：如圖1，延長ED至M，使MD=ED，連接CM，F(xiàn)M，
∵D為BC中點，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDM中，
∵，
∴△BDE≌△CDM（SAS），
∴CM=BE，∠B=∠MCD=45°，
∴∠MCF=∠MCD+∠ACB=45°+45°=90°，
在Rt△MCF中，MF===13，
∵DE⊥DF，MD=ED，
∴EF=MF=13；

方法二：如圖2，連接AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，點D為BC的中點，
∴AD=CD，∠DAE=∠C=45°，AD⊥BC，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
同理可得AF=BE，
在Rt△AEF中，EF===13．
分析：方法一：延長ED至M，使MD=ED，連接CM，F(xiàn)M，然后利用“邊角邊”證明△BDE和△CDM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CM=BE，全等三角形對應角相等可得∠B=∠MCD，然后求出∠MCF=90°，再利用勾股定理列式進行計算求出MF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等解答；
方法二：連接AD，根據(jù)等腰三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，并求出∠DAE=∠C=45°，AD⊥BC，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ADE=∠CDF，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CF，同理可得AF=BE，然后利用勾股定理列式進行計算即可得解．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，作輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵．