Question

在Rt△ABC中，∠ACB等于90°，∠ABC等于30°，AC=1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AB′C′，使得點(diǎn)AC′恰好落在斜邊AB上，連接BB′．
（1）直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
（2）說明BC垂直BB′．
（3）求線段BC的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）如圖，先利用互余計(jì)算出∠BAC=60°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到旋轉(zhuǎn)角為60°；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAB′=60°，AB=AB′，則可判斷△ABB′為等邊三角形，所以∠ABB′=60°，于是可計(jì)算得到∠CBB′=90°，然后根據(jù)垂直的定義得到BC垂直BB′；
（3）連結(jié)B′C，如圖，在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2AC=2，BC=

3

AC=

3

，再由△ABB′為等邊三角形得到BB′=AB=2，然后在Rt△CBB′中根據(jù)勾股定理可計(jì)算出B′C．

解答：解：（1）如圖，∵∠ABC等于30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AB′C′，使得點(diǎn)AC′恰好落在斜邊AB上，
∴∠CAC′等于旋轉(zhuǎn)角，
即旋轉(zhuǎn)角為60°；
（2）∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△AB′C′，使得點(diǎn)AC′恰好落在斜邊AB上，
∴∠BAB′=60°，AB=AB′，
∴△ABB′為等邊三角形，
∴∠ABB′=60°，
∴∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴BC垂直BB′；
（3）連結(jié)B′C，如圖，
在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，AC=1，
∴AB=2AC=2，BC=

3

AC=

3

，
∵△ABB′為等邊三角形，
∴BB′=AB=2，
在Rt△CBB′中，B′C=

BC2+B′B2

=

7

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．