Question

閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)．
小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△AP′C，連接PP′，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問題解決．
請你回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于______．
參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：
（1）如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，PB=1，PD=，則∠APB的度數(shù)等于______，正方形的邊長為______；
（2）如圖4，在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=1，PF=，則∠APB的度數(shù)等于______，正六邊形的邊長為______．

Answer 1

解：閱讀材料：把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=3，P′C=PB=4，∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，
∵PP′²+P′C²=3²+4²=25，PC²=5²=25，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故∠APB=∠AP′C=150°；

（1）如圖3，把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADP′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=2，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=PA=×2=4，∠AP′P=45°，
∵PP′²+P′D²=4²+1²=17，PD²=²=17，
∴PP′²+P′D²=PD²，
∴∠PP′D=90°，
∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，
故，∠APB=∠AP′D=135°，
∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，
∴點(diǎn)P′、P、B三點(diǎn)共線，
過點(diǎn)A作AE⊥PP′于E，
則AE=PE=PP′=×4=2，
∴BE=PE+PB=2+1=3，
在Rt△ABE中，AB===；

（2）如圖4，∵正六邊形的內(nèi)角為×（6-2）•180°120°，
∴把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AFP′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，
∴∠APP′=∠AP′P=（180°-120°）=30°，
過點(diǎn)A作AM⊥PP′于M，設(shè)PP′與AF相交于N，
則AM=PA=×2=1，
P′M=PM===，
∴PP′=2PM=2，
∵PP′²+P′F²=（2）²+1²=13，PF²=²=13，
∴PP′²+P′F²=PF²，
∴∠PP′F=90°，
∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，
故，∠APB=∠AP′F=120°，
∵P′F=AM=1，
∵△AMN和△FP′N中，
，
∴△AMN≌△FP′N（AAS），
∴AN=FN，P′N=MN=P′M=，
在Rt△AMN中，AN===，
∴AF=2AN=2×=．
故答案為：150°；（1）135°，；（2）120°，．
分析：閱讀材料：把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即為∠APB的度數(shù)；
（1）把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，然后判斷出△APP′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即為∠APB的度數(shù)；再求出點(diǎn)P′、P、B三點(diǎn)共線，過點(diǎn)A作AE⊥PP′于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE=PE=PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出AB即可；
（2）把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AFP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′A=PA，P′F=PB，∠PAP′=120°，然后求出△APP′是底角為30°的等腰三角形，過點(diǎn)A作AM⊥PP′于M，設(shè)PP′與AF相交于N，求出AM=1，再求出PP′，∠AP′P=30°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′F=90°，然后求出∠AP′F，即為∠APB的度數(shù)；根據(jù)P′F、AM的長度得到P′F=AM，利用“角角邊”證明△AMN和△FP′N全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=FN，P′N=MN，然后求出MN，在Rt△AMN中，利用勾股定理列式求出AN，然后求出AF即可．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）（2）兩問求多邊形的邊長有一定的難度，作輔助線構(gòu)造出直角三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵．