Question

已知拋物線(xiàn)y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連AC，將直線(xiàn)AC向右平移交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，交x軸于Q點(diǎn)，且∠CPQ=135°，求直線(xiàn)PQ的解析式．

Answer 1

分析：首先由拋物線(xiàn)解析式求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從未求得OC=3，OA=1．然后如圖，作CA⊥AE交直線(xiàn)PC于E，EH⊥x軸于H，構(gòu)建全等三角形：△AOC≌△EHA（AAS），所以由全等三角形的性質(zhì)可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而易求直線(xiàn)CE與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．然后根據(jù)平行線(xiàn)的斜率相等來(lái)求直線(xiàn)PQ的解析式．

解答：解：∵拋物線(xiàn)y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，
∴易求A（1，0），C（0，3），直線(xiàn)AC的解析式為y=-3x+3．
∴OC=3，OA=1．
∵∠CPQ=135°，
∴∠EPQ=45°，
∵AC∥PD，
∴∠ACP=45°，
作CA⊥AE交直線(xiàn)PC于E，EH⊥x軸于H，則∠ACO=∠EAH，AC=AE，∠AOC=∠EHA=90°，
∴在△AOC與△EHA中，

∠AOC=∠EHA ∠ACO=∠EAH AC=EA

，
∴△AOC≌△EHA（AAS）．
∵CO=HA=3，AO=HE=1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，1），
∴直線(xiàn)CE的解析式為y=-

1

2

x+3，
有

y=x2-4x+3 y=- 1 2 x+3

，
∴解得點(diǎn)P坐標(biāo)為（

7

2

，

5

4

）．
∵AC∥PQ，
∴直線(xiàn)PQ的解析式為：y=-3x+

47

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)圖象與幾何變換．注意此題的輔助線(xiàn)的作法是解題的難點(diǎn)．