Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BA=CD，AD的長為4，S_梯形ABCD=9．已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，3）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）取點(diǎn)E（0，1），連接DE并延長交AB于P試猜想DF與AB之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）將梯形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后成梯形AB′C′D′，求對稱軸為直線x=3，且過A、B′兩點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，3）易得OB=3，BC=2，
可得C到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，
故C（-2，3）．

（2）猜想：DF⊥AB．
根據(jù)題意，易得tan∠FDA==，
同時(shí)可得tan∠BAO=-=-3，
有tan∠FDA×tan∠BAO=-1，
故DF⊥AB．

（3）根據(jù)題意，設(shè)其方程為y=a（x-3）²+c，
同時(shí)有A（1，0），（5，0），
將其代入方程可得a=1，c=-4，
化簡可得y=x²-6x+5，
故所求的拋物線解析式為y=x²-6x+5．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，易得點(diǎn)C到X，Y軸的距離，進(jìn)而可得C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出有tan∠FDA與tan∠BAO值，進(jìn)而可得DF⊥AB；
（3）根據(jù)題意，設(shè)出其方程，將AB的坐標(biāo)代入可得ac的值，化簡可得拋物線解析式．
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．