Question

3．如圖，△ABC中，D為邊AB的中點(diǎn)，E為邊BC上一點(diǎn)，ED延長(zhǎng)線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以下結(jié)論正確的有②④．
①若AB=BC，BE=DE，則AF=AD；
②若∠ACB=90°，CE=DE，則AD•BD=CE•CB；
③當(dāng)$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{3}$時(shí)，則$\frac{FA}{AC}$=$\frac{1}{3}$；
④當(dāng)$\frac{CA}{CF}$=x，$\frac{CB}{CE}$=y時(shí)，則x+y=2．

Answer 1

分析 ①錯(cuò)誤．如圖1中，在△ADC中，只要證明∠F＜∠ADC即可說(shuō)明．
②正確．如圖2中，只要證明△DCE∽△BCD得$\frac{DC}{CB}$=$\frac{CE}{DC}$，再根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)即可證明．
③錯(cuò)誤．如圖3中，只要證明△ADN≌△BDE，再根據(jù)$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AN}{CE}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{3}$即可說(shuō)明．
④正確，由如圖3中，由$\frac{BE}{AE}$=$\frac{AF}{FC}$，結(jié)合條件即可證明．

解答 解：①如圖1中，
∵BE=BD，
∴∠BDE=∠BED=∠ADC，
∵∠BED=∠F+∠F，
∴∠F＜∠BED，
∴∠F＜∠ADF，
∴AD＜AF，故①錯(cuò)誤．
②如圖2中，

∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴DC=AD=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵EC=ED，
∴∠DCE=∠CDE，
∴∠CDE=∠B，∵∠DCE=∠BCD，
∴△DCE∽△BCD，
∴$\frac{DC}{CB}$=$\frac{CE}{DC}$，
∴DC²=CE•CB，
∴AD•DB=EC•CB，故②正確．
③如圖3中，

作AN∥BC交EF于N．
∵AN∥CB，
∴∠NAD=∠EBD，
在△ADN和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADN=∠BDE}\\{∠NAD=∠EBD}\\{AD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△BDE，
∴AN=BE，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AN}{CE}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{3}$，
∴AF：AC=1：2，故③錯(cuò)誤．
④由③可知：$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AF}{FC}$，
∵$\frac{CA}{CF}$=x，$\frac{CB}{CE}$=y，
∴$\frac{y-1}{1}$=$\frac{1-x}{1}$，
∴x+y=2，故④正確．
故答案為②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵，利用全等三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．