Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半徑為1．現(xiàn)將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與矩形的對稱中心O重合，繞著O點(diǎn)轉(zhuǎn)動三角板，使它的一條直角邊與⊙D切于點(diǎn)H，此時(shí)兩直角邊與AD交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則EH的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：作OG⊥AD于G，連結(jié)OH，如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)得OG=

1

2

AB=1，DG=

1

2

AD=2，再根據(jù)切線的性質(zhì)得DH⊥OH，則DH=1，接著證明△ODG≌△DOH得到∠ODG=∠DOH，則EO=ED，設(shè)OE=x，則DE=x，GE=DG-DE=2-x，在Rt△OGE中，根據(jù)勾股定理得到（2-x）²+1²=x²，解得x=

5

4

，即OE=

5

4

，GE=2-

5

4

=

3

4

，然后證明△EOG∽△EFO，利用相似比可計(jì)算出EF．

解答：解：作OG⊥AD于G，連結(jié)OH，如圖，
∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，
∴OG=

1

2

AB=1，DG=

1

2

AD=

1

2

BC=2，
∵OH與⊙D切于點(diǎn)H，
∴DH⊥OH，
∴DH=1，
在Rt△ODG和△DOH中，

OG=DH OD=DO

，
∴Rt△ODG≌Rt△DOH（HL），
∴∠ODG=∠DOH，
∴EO=ED，
設(shè)OE=x，則DE=x，GE=DG-DE=2-x，
在Rt△OGE中，
∵GE²+OG²=OE²，
∴（2-x）²+1²=x²，解得x=

5

4

，
∴OE=

5

4

，GE=2-

5

4

=

3

4

，
∵∠OEG=∠FEO，
而∠EOF=∠OGE=90°，
∴△EOG∽△EFO，
∴

EO

EF

=

EG

OE

，即

5 4

EF

=

3 4

5 4

，
∴EF=

25

12

．
故答案為

25

12

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．