Question

如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，與二次函數(shù)的圖象交于y軸上的一點B，二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的另一交點為D，已知P為x軸上的一個動點，且△PBD為直角三角形，求點P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）P₁（1，0）和P₂（，0）

【解析】解：（1）∵交x軸于點A，∴0=0.5x+2，解得x=－4�！郃點坐標(biāo)為：（－4，0）。

∵與y軸交于點B，∴y=2�！郆點坐標(biāo)為：（0，2）。

∵二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2

∴可設(shè)二次函數(shù)。

把B（0，2）代入得：a=。

∴二次函數(shù)的解析式為：，即。

（2）①當(dāng)B為直角頂點時，過B作BP₁⊥AD交x軸于P₁點，

∵Rt△AOB∽Rt△BOP₁，∴。

∴，解得：OP₁=1。

∴P₁點坐標(biāo)為（1，0），      

②當(dāng)D為直角頂點時作P₂D⊥BD，連接BP₂，

將與2聯(lián)立求出兩函數(shù)另一交點坐標(biāo)：D點坐標(biāo)為：（5，），則AD=。

由A（－4，0），B（0，2）可得AB=。

∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，

∴△ABO∽△AP₂D�！�。

∴，解得AP₂=。

則OP₂=。

∴P₂點坐標(biāo)為（，0）。

③當(dāng)P為直角頂點時，過點D作DE⊥x軸于點E，設(shè)P₃（a，0），

則由Rt△OBP₃∽Rt△EP₃D得：，

∴。

∵方程無解，∴點P₃不存在。

綜上所述，點P的坐標(biāo)為：P₁（1，0）和P₂（，0）。

（1）根據(jù)交x軸于點A，與y軸交于點B，即可得出A，B兩點坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．得出可設(shè)二次函數(shù)，進而求出即可。

（2）分點B為直角頂點，點D為直角頂點，點P為直角頂點三種情況討論，分別利用三角形相似對應(yīng)邊成比例求出即可。