Question

已知直線y=x+4與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)， ∠ABC=60°，BC與x軸交于點(diǎn)C。
（1）試確定直線BC的解析式；
（2）若動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動（不與A、C重合），同時動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CBA向點(diǎn)A運(yùn)動（不與C、A重合） ，動點(diǎn)P的運(yùn)動速度是每秒1個單位長度，動點(diǎn)Q的運(yùn)動速度是每秒2個單位長度，設(shè)△APQ的面積為S，P點(diǎn)的運(yùn)動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△APQ的面積最大時，y軸上有一點(diǎn)M，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得A點(diǎn)坐標(biāo)（-4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0，4）， ∵OA=4，OB=4， ∴∠BAO=60°， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∵OC=OA=4， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)（4，0）， 設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，   ∴， ∴直線BC的解析式為y=-；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動時，作QH⊥x軸， ∵，  ∴， ∴QH=t， ∴S△APQ=AP·QH=t·t=t2（0＜t≤4）， 同理可得S△APQ=t·（8）=-（4≤t＜8）；
（3）存在，（4，0），（-4，8）；（-4，-8）；（-4，）。