Question

如圖，△ABC中，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，且AC²=AD•AB．
（1）求證：CA是圓的切線；
（2）O為半圓的圓心，OE⊥BD，已知BE=3，AD=2，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先根據(jù)三角形相似的判定由AC²=AD•AB得到△ACD∽△ABC，則∠ADC=∠ACB，再根據(jù)圓周角定理得到∠BDC=90°，所以∠ACB=90°，然后根據(jù)切線的判定得到CA是圓的切線；
（2）先根據(jù)垂徑定理得DE=BE=3，則AB=8，再利用AC²=AD•AB計(jì)算出AC，然后根據(jù)正弦的定義求∠B的度數(shù)．

解答：（1）證明：∵AC²=AD•AB，即

AC

AD

=

AB

AC

，
而∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
而C是直徑BC的端點(diǎn)，
∴CA是圓的切線；
（2）解：∵OE⊥BD，
∴DE=BE=3，
∴AB=BE+DE+AD=8，
∴AC²=AD•AB=16，
∴AC=4，
在Rt△ABC中，sinB=

AC

AB

=

1

2

，
∴∠B=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．