Question

已知：如圖，直線y＝－x＋4與x軸相交于點A，與直線y＝x相交于點P．

(1)求點P的坐標．

(2)請判斷△OPA的形狀并說明理由．

(3)動點E從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著O→P→A的路線向點A勻速運動(E不與點O、A重合)，過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B設(shè)運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．

求：①S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

②當t為何值時，S最大，并求S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　　2分 　　解得：　　3分 　　∴點P的坐標為(2，)　　4分 　　(2)將y＝0代入y＝ 　　∴x＝4，即OA＝4　　4分 　　做PD⊥OA于D，則OD＝2，PD＝2 　　∵tan∠POA＝ 　　∴∠POA＝60° 　　∵OP＝ 　　∴△POA是等邊三角形　　6分 　　(3)①當0＜t≤4時，如下圖 　　在Rt△EOF中，∵∠EOF＝60°，OE＝t 　　∴EF＝t，OF＝t　　7分 　　∴S＝·OF·EF＝ 　　當4＜t＜8時，如下圖 　　設(shè)EB與OP相交于點C 　　易知：CE＝PE＝t－4，AE＝8－t 　　∴AF＝4－，EF＝(8－t) 　　∴OF＝OA－AF＝4－(4－t)＝t 　　∴S＝(CE＋OF)·EF 　　＝(t－4＋t)×(8－t) 　�。剑�＋4t－8　　9分 　�、诋�0＜t≤4時，S＝，t＝4時，S最大＝2 　　當4＜t＜8時，S＝－＋4t－8＝－(t－)2＋ 　　t＝時，S最大＝ 　　∵＞2，∴當t＝時，S最大＝　　12分