Question

已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，

（1）如圖，E，F分別是AB，AC上的點，且BE＝AF，

求證：△DEF為等腰直角三角形．

（2）若E，F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．

Answer 1

證明：①連結

∵   ∠BAC＝90°   為BC的中點

∴AD⊥BC   BD＝AD

∴∠B＝∠DAC＝45°

又BE＝AF

∴△BDE≌△ADF  （S.A.S）

∴ED＝FD   ∠BDE＝∠ADF

∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°

∴△DEF為等腰直角三角形

②若E，F分別是AB，CA延長線上的點，如圖所示．

連結AD  

∵AB＝AC  ∠BAC＝90°  D為BC的中點

∴AD＝BD   AD⊥BC

∴∠DAC＝∠ABD＝45°

∴∠DAF＝∠DBE＝135°

又AF＝BE

∴△DAF≌△DBE   （S.A.S）

∴FD＝ED   ∠FDA＝∠EDB

∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°

∴△DEF仍為等腰直角三角形。