Question

【題目】拋物線F與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)C在直線上，與y軸相交于點(diǎn)D（0，3）。

（1）求拋物線F的解析式；

（2）連結(jié)CD、BD，則線段BD與CD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為 ；

（3）點(diǎn)P為直線CD上方拋物線F上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥CD，垂足為Q，若∠QPD=∠DBC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）拋物線F的解析式為 ；

（2）BD⊥CD，BD=3CD；

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1和P2(4,5)

【解析】分析:（1）由題意得頂點(diǎn)C（1，-4），設(shè)拋物線解析式為;y=a(x-1) -4,把D(0，3)代入即可求解；（2）由D、B、C的坐標(biāo)，求出線段BD,BC,BC的值，利用定理的逆定理判斷；（3）分兩種情況討論①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D在下方時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D在上方時(shí).

本題解析：（1）將x=1代入y=x-5，∴y=-4，∴頂點(diǎn)C(1,-4)

設(shè)，∵過點(diǎn)D（0，-3）， ∴a-4=-3，∴a=1，∴ .

（2）BD⊥CD，BD=3CD

（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D在下方時(shí)

∵P1Q1⊥CD, ∴∠P1Q1D=∠BDC=90°

又∵∠DBC=∠Q1P1D

∴∠BCD=∠P1DQ1 ，∴∠BDE=∠DBE

∴ED=EC=BE即E為BC的中點(diǎn)

∴E（2，-2）, ∴

②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D在上方時(shí)

∵∠P2Q2D=∠BDC=90°∠DBC=∠Q2P2D

∴∠DCB=∠Q2DP2,∴P2D∥BC, ∵B（3,0），C（1，-4）,∴,∵D（0，-3）

∴ ,∴P2(4,5) ,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為和P2(4,5).