Question

2．如圖，圓柱底面圓的半徑為$\frac{2}{π}$ cm，高為9cm，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一母線上，用一根棉線從點(diǎn)A順著圓柱側(cè)面繞3圈到點(diǎn)B，那么這根棉線的長(zhǎng)度最短是多少？

Answer 1

分析 求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．

解答 解：圓柱體的展開圖如圖所示，
用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：AC→CD→DB，
即在圓柱體的展開圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短，
∵圓柱底面半徑為$\frac{2}{π}$cm，
∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)=2π×$\frac{2}{π}$=4cm，
又∵圓柱高為9cm，
∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是3cm，
根據(jù)勾股定理求得AC=CD=DB=5cm，
∴AC+CD+DB=15cm，
答：這根棉線的長(zhǎng)度最短是15cm．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開-路徑最短問(wèn)題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．解題的關(guān)鍵就是把圓柱的側(cè)面展開成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．