Question

已知拋物線經(jīng)過點A（－1，0），B（3，0），交軸于點C，M為拋物線的頂點，連接MB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在軸上是否存在點P滿足△PBM是直角三角形，若存在，請求出P點的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)Q點的坐標為（8，0），將該拋物線繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后，點M的對應(yīng)點為，求的度數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）P點的坐標為（0，1），（0，3），，

（3）＝135°

【解析】

試題分析：（1）∵因為拋物線經(jīng)過點A（－1，0），B（3，0）

∴

解得

∴

（2）設(shè)點P的坐標為（0，y）,

① 若∠MPB＝90°，過點M作ME ⊥x軸，MF ⊥y軸,

易證R t △PFM ∽ R t △BOP，可得：

解得，∴點P的坐標為（0，1），（0，3）

② 若∠PMB＝90°，同理，R t △PFM ∽ R t △BEM，

∴ 解得： ∴點P的坐標為

③ 若∠MBP＝90°，同理, R t △POB ∽ R t △BEM

∴，解得： ，∴點P的坐標為

綜上：△PBM是直角三角形時，P點的坐標為（0，1），（0，3），，

（3）

由題意可知：B（3，0），M(1，4)，Q(8，0)，點M，M′關(guān)于點Q中心對稱，

∴M′ (15，－4)，

連結(jié)M′B，并延長M′B交y軸于點D，

由，可得D（0，1）

連結(jié)MD，易證R t △DFM≌R t △DOB

∴△DBM是等腰直角三角形，∠DBM＝45°

∴＝135°

解法二：

過點M′作MB的垂線交MB的延長線于點D，

由△MBM′面積計算，轉(zhuǎn)化為已知△面積和底邊MB求高D M′，解得

再由 ，  M’D⊥MD， ∴△DBM′是等腰Rt△，

∴    

∴ ∠M’BD=∠BM’D=45°

∴＝135°

考點：二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合

點評：該題較為復雜，是�？碱}，主要考查學生對求二次函數(shù)解析式以及對圖形中點與線段在直角坐標系中表示的方法的應(yīng)用。