Question

如圖，過原點(diǎn)的直線l₁：y=3x，l₂：y=x．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．直線PQ交y軸正半軸于點(diǎn)Q，且分別交l₁、l₂于點(diǎn)A、B．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，直線PQ的解析式為y=-x+t．△AOB的面積為S_l（如圖①）．以AB為對(duì)角線作正方形ACBD，其面積為S₂（如圖②）．連接PD并延長，交l₁于點(diǎn)E，交l₂于點(diǎn)F．設(shè)△PEA的面積為S₃；（如圖③）

（1）S_l關(guān)于t的函數(shù)解析式為______；（2）直線OC的函數(shù)解析式為______；
（3）S₂關(guān)于t的函數(shù)解析式為______；（4）S₃關(guān)于t的函數(shù)解析式為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）把直線PQ的解析式分別與直線l₁，l₂的解析式聯(lián)立，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示三角形的底、高，運(yùn)用割補(bǔ)法求S₁；
（2）由于直線PQ與x軸的夾角為45°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，AC⊥x軸，BC∥x軸，C點(diǎn)橫坐標(biāo)與點(diǎn)A相同，縱坐標(biāo)與點(diǎn)B相同，直線OC解析式可求；
（3）根據(jù)（1）（2）所得A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，可求AC，BC的長，從而，就可以表示S₂了；
（4）用（2）的方法，可推出D點(diǎn)坐標(biāo)（t，），又P（t，0），可求直線PD解析式，從而可求點(diǎn)E的坐標(biāo)，用S₃=S_△OEP-S_△OAP可表示面積．
解答：解：（1）∵直線l₁與直線PQ相交于點(diǎn)A，
∴，解得，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
∵直線l₂與直線PQ相交于點(diǎn)B，
∴，解得
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
∴S₁=S_△AOP-S_△BOP=t²

（2）由（1）得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）．
設(shè)直線OC的解析式為y=kx，根據(jù)題意得=，
∴k=，
∴直線OC的解析式為y=x．

（3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的邊長CB=t-=，
∴S₂=CB²=（）²=．

（4）設(shè)直線PD的解析式為y=k₁x+b，由（1）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，），
將P（t，0）、D（）代入得，
解得
∴直線PD的解析式為y=-x+t．
由，
得
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
∴S₃=S_△EOP-S_△AOP=t•t-t•t=t²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)求法，正方形的性質(zhì)，采用了三角形面積的割補(bǔ)法表示面積．