Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F(xiàn)點(diǎn)以2cm/s的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)同時(shí)以1cm/s的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜5）。

（1）求證△ACD∽△BAC；

（2）求DC的長(zhǎng)；

（3）t為何值時(shí)，四邊形AFEC的面積為19。

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）cm；(3) s.

【解析】

試題分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一組直角，即可證得所求的三角形相似．

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的長(zhǎng)，根據(jù)（1）題所得相似三角形的比例線段，即可求出DC的長(zhǎng)．

（3）四邊形AFEC的面積=△ABC的面積-△BEF的面積．

試題解析：（1）∵AB∥DC，

∴∠ACD=∠BAC．

∵AC⊥BC，

∴∠D=∠ACB=90°．

∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵△ACD∽△BAC，

∴．

∴DC=（cm）；

（3）作CM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N．

∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，

∴CM=．

∵CM∥EN，

∴，

∴．

S四邊形AFEC=S△ABC-S△BEF

=×6×8-×（10-2t）×

=24-4t+

即 y=-4t+24．（0＜t＜5）

∵當(dāng)y=19時(shí)，-4t+24=19

解得：t=

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.直角梯形．