Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm．直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A，D不重合），一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊交AB于點(diǎn)E．
（1）試證明△APE∽△DCP；
（2）當(dāng)P滑動(dòng)到什么位置時(shí)，AE=cm？
（3）當(dāng)∠CPD=30°時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
而∠AEP+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△APE∽△DCP；

（2）解：設(shè)AP=x，則PD=10-x，
∵△APE∽△DCP，
∴AP：DC=AE：PD，即x：4=：（10-x），解得x₁=1，x₂=9，
∴當(dāng)P滑動(dòng)到離A點(diǎn)1cm或9cm時(shí)，AE=cm；

（3）解：∵∠CPD=30°，
∴PD=DC=4，
∴AP=10-4，
∵△APE∽△DCP，
∴AP：DC=AE：PD，即（10-4）：4=AE：4，
∴AE=10-12（cm）．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠A=∠D=90°，由∠EPC=90°得到∠APE+∠DPC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠AEP=∠DPC，然后根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)AP=x，則PD=10-x，利用相似比得到AP：DC=AE：PD，即x：4=：（10-x），然后解方程即可；
（3）根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到PD=DC=4，AP=10-4，然后利用相似比得到AP：DC=AE：PD得（10-4）：4=AE：4，再解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了矩形的性質(zhì)．