Question

如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．

 

（1）要使長方體盒子的底面積為，那么剪去的正方形的邊長為多少？

（2）你感到折合而成的長方體盒子的側面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；

（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．

Answer 1

解：（1）設正方形的邊長為cm，則

．

即．

解得（不合題意，舍去），．

剪去的正方形的邊長為1cm．

（注：通過觀察、驗證直接寫出正確結果給3分）

（2）有側面積最大的情況．

設正方形的邊長為cm，盒子的側面積為cm²，

則與的函數(shù)關系式為：

．

即．

改寫為．

當時，．

即當剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側面積最大為40.5cm²．·· 6分

（3）有側面積最大的情況．

設正方形的邊長為cm，盒子的側面積為cm²．

若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關系式為：

即．

當時，．········ 8分

若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關系式為：

即．

當時，．

比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側面積最大，即當剪去的正方形的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側面積最大，最大面積為cm²．