【題目】問題發(fā)現(xiàn)
如圖和均為等邊三角形,點在同一直線上,連接BE.
填空:
的度數(shù)為______;
線段之間的數(shù)量關系為______.
拓展探究
如圖和均為等腰直角三角形,,點在同一直線上,CM為中DE邊上的高,連接BE,請判斷的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關系,并說明理由.
解決問題
如圖3,在正方形ABCD中,,若點P滿足,且,請直接寫出點A到BP的距離.
【答案】;;,理由見解析; 點A到BP的距離為或.
【解析】分析:(1)由條件易證△ACD≌△BCE,從而得到:AD=BE,∠ADC=∠BEC.由點A,D,E在同一直線上可求出∠ADC,從而可以求出∠AEB的度數(shù).
(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度數(shù),證出AD=BE;由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME,從而證到AE=2CH+BE.
(3)由PD=1可得:點P在以點D為圓心,1為半徑的圓上;由∠BPD=90°可得:點P在以BD為直徑的圓上.顯然,點P是這兩個圓的交點,由于兩圓有兩個交點,接下來需對兩個位置分別進行討論.然后,添加適當?shù)妮o助線,借助于(2)中的結論即可解決問題.
詳解:(1)①如圖1.∵△ACB和△DCE均為等邊三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵,
∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE為等邊三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.
∵點A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°.
故答案為:60°.
②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE.
故答案為:AD=BE.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由:如圖2.∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵,
∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE為等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.
∵點A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,
∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM,∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)點A到BP的距離為或.
理由如下:
∵PD=1,∴點P在以點D為圓心,1為半徑的圓上.
∵∠BPD=90°,∴點P在以BD為直徑的圓上,∴點P是這兩圓的交點.
①當點P在如圖3①所示位置時,連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,過點A作AE⊥AP,交BP于點E,如圖3①.
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC=,∠BAD=90°,∴BD=2.
∵DP=1,∴BP=.
∵∠BPD=∠BAD=90°,∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上,∴∠APB=∠ADB=45°,∴△PAE是等腰直角三角形.
又∵△BAD是等腰直角三角形,點B、E、P共線,AH⊥BP,∴由(2)中的結論可得:BP=2AH+PD,∴=2AH+1,∴AH=.
②當點P在如圖3②所示位置時,連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,過點A作AE⊥AP,交PB的延長線于點E,如圖3②.
同理可得:BP=2AH﹣PD,∴=2AH﹣1,∴AH=.
綜上所述:點A到BP的距離為或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,O是平面直角坐標系的原點.在四邊形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于C,A(1,1),B(3,1),動點P從O點出發(fā),沿x軸正方向以2個單位/秒的速度運動.設P點運動的時間為t秒(0<t<2).
(1)求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線的解析式;
(2)過P作PD⊥OA于D,以點P為圓心,PD為半徑作⊙P,⊙P在點P的右側與x軸交于點Q.
①則P點的坐標為_____,Q點的坐標為_____;(用含t的代數(shù)式表示)
②試求t為何值時,⊙P與四邊形OABC的兩邊同時相切;
③設△OPD與四邊形OABC重疊的面積為S,請直接寫出S與t的函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,在正方形ABCD中,,點E,F分別在BC、CD上,,試探究面積的最小值。
下面是小麗的探究過程:
(1)延長EB至G,使,連接AG,可以證明.請完成她的證明;
(2)設,,
①結合(1)中結論,通過計算得到與x的部分對應值。請求出表格中a的值:(寫出解答過程)
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
10 | 8.18 | 6.67 | 5.38 | 4.29 | 3.33 | a | 1.76 | 1.11 | 0.53 | 0 |
②利用上表和(1)中的結論通過描點、連線可以分別畫出函數(shù)、的圖像、請在圖②中完善她的畫圖;
③根據(jù)以上探究,估計面積的最小值約為(結果估計到0.1)。
圖① 圖②
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在今年我市初中學業(yè)水平考試體育學科的女子800米耐力測試中,某考點同時起跑的小瑩和小梅所跑的路程S(米)與所用時間t(秒)之間的函數(shù)圖象分別為線段OA和折線OBCD,下列說法正確的是( 。
A、小瑩的速度隨時間的增大而增大B、小梅的平均速度比小瑩的平均速度大
C、在起跑后180秒時,兩人相遇D、在起跑后50秒時,小梅在小瑩的前面
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,點M是AC的中點,以AB為直徑作分別交于點.
求證:;
填空:
若,當時,______;
連接,當的度數(shù)為______時,四邊形ODME是菱形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】溫度通常有兩種表示方法:華氏度(單位:℉)與攝氏度(單位:℃),已知華氏度數(shù)與攝氏度數(shù)之間是一次函數(shù)關系,下表列出了部分華氏度與攝氏度之間的對應關系:
攝氏度數(shù)(℃) | … | 0 | … | 35 | … | 100 | … |
華氏度數(shù)(℉) | … | 32 | … | 95 | … | 212 | … |
(1)選用表格中給出的數(shù)據(jù),求y關于x的函數(shù)解析式;
(2)有一種溫度計上有兩個刻度,即測量某一溫度時左邊是攝氏度,右邊是華氏度,那么在多少攝氏度時,溫度計上右邊華氏度的刻度正好比左邊攝氏度的刻度大56?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知中,,,,D是AC邊上一點,且,聯(lián)結BD,點E、F分別是BC、AC上兩點(點E不與B、C重合),,AE與BD相交于點G.
(1)求證:BD平分;
(2)設,,求與之間的函數(shù)關系式;
(3)聯(lián)結FG,當是等腰三角形時,求BE的長度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形紙片ABCD中,∠B=∠D=90°,點E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,將AB,AD分別沿AE,AF折疊,點B,D恰好都和點G重合,∠EAF=45°.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)求證:三角形ECF的周長是四邊形ABCD周長的一半;
(3)若EC=FC=1,求AB的長度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列各式能用完全平方公式分解的是( )
A.a2+2ax+4x2B.-a2-4ax+4x2
C.-2x+1+4x2D.x4+4+4x2
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