Question

2．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上．
（1）若CE：AE=1：7，求tan∠CDE的值．
（2）以DE為腰作等腰直角三角形DEF，連接CF、BF，若CE=1，△CDF的面積為$\frac{15}{2}$，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作EF⊥BC于F，則EF∥AB，由平行線分線段成比例定理得出CF：BC=1：8，得出CF：DF=1：3，證出△CEF是等腰直角三角形，得出EF=CF，EF：DF=1：3即可；
（2）作DN⊥AC，DM⊥FC，F(xiàn)K⊥BC，垂足分別為N，M，K，易證∠DFE=∠ACB═45°，可得D、E、C、F四點(diǎn)共圓，從而可證得∠DEN=∠DFM，進(jìn)而可得△DNE≌△DMF，則有DN=DM，NE=MF．易證四邊形DNCM是正方形，設(shè)正方形DNCM的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)△CDF的面積為7.5建立關(guān)于x的方程，求出x，從而可求出FC、KC、BK，然后根據(jù)勾股定理就可求出BF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）作EF⊥BC于F，如圖1所示：
則EF∥AB，
∴CF：BF=CE：AE=1：7，
∴CF：BC=1：8，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴CF：DF=1：3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CF，
∴EF：DF=1：3，
∴tan∠CDE=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{3}$；
（2）作DN⊥AC，DM⊥FC，F(xiàn)K⊥BC，垂足分別為N，M，K，如圖2所示．
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠DFE=∠ACB=45°，
∴D、E、C、F四點(diǎn)共圓
∴∠EDF+∠ECF=180°，∠DEC+∠DFC=180°，∠DCF=∠DEF=45°．
∵∠DEN+∠DEC=180°，
∴∠DEN=∠DFM．
在△DNE和△DMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠DFM}\\{∠DNE=∠DMF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△DMF（AAS），
∴DN=DM，NE=MF．
∵∠DNC=∠NCM=∠DMC=90°，
∴四邊形DNCM是矩形．
∵DN=DM，
∴矩形DNCM是正方形．
設(shè)正方形DNCM的邊長(zhǎng)為x，
則NC=MC=DM=DN=x，
∴MF=NE=NC-EC=x-1，
∴FC=MC+FM=x+（x-1）=2x-1．
∵△CDF的面積為7.5，
∴$\frac{1}{2}$x（2x-1）=7.5．
解得：x₁=-2.5（舍去），x₂=3．
∴BD=DC=$\sqrt{D{M}^{2}+M{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，F(xiàn)C=5，
∴KF=FC•sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
同理：KC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴BK=BC-KC=6$\sqrt{2}$-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{F{K}^{2}+B{K}^{2}}$=$\sqrt{37}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四點(diǎn)共圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．而通過證明D、E、C、F四點(diǎn)共圓和△DNE≌△DMF是解決本題的關(guān)鍵．