Question

直線(xiàn)y=kx+2與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為4，求直線(xiàn)解析式．若k＞0時(shí)直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為A與y軸交點(diǎn)為B解答下列問(wèn)題：
（1）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAB=3？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）求直線(xiàn)AB上是否存在一點(diǎn)E，使點(diǎn)E到x軸的距離等于1.5，若存在求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)G，使S_△BOG=

1

2

S_△AOB？若存在，請(qǐng)求出G點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：當(dāng)k＞0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為B，如圖1，則有OB=2，然后由S_△AOB=4可得OA，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入y=kx+2就可求出該直線(xiàn)的解析式；當(dāng)k＜0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為C，與y軸交點(diǎn)為B，如圖2，則有OB=2，然后由S_△COB=4可得OC，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入y=kx+2就可求出該直線(xiàn)的解析式．
（1）由條件可求出AP的長(zhǎng)，就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）由條件可得到點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，代入y=kx+2，就可得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題；
（3）由條件可求出OG的長(zhǎng)，從而可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解答：解：當(dāng)k＞0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為B，如圖1，

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），OB=2，S_△AOB=

1

2

OA•OB=4，
解得：OA=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），
∴-4k+2=0，
解得：k=

1

2

，
∴直線(xiàn)的解析式為y=

1

2

x+2．
當(dāng)k＜0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為C，與y軸交點(diǎn)為B，如圖2，

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），OB=2，S_△COB=

1

2

OC•OB=4，
解得：OC=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），
∴4k+2=0，
解得：k=-

1

2

，
∴直線(xiàn)的解析式為y=-

1

2

x+2．
綜上所述：所求直線(xiàn)解析式為y=

1

2

x+2或y=-

1

2

x+2．
（1）若在x軸上存在一點(diǎn)P，使S_△PAB=3，
則S_△PAB=

1

2

AP•OB=

1

2

AP×2=AP=3，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）或（-7，0）．

（2）若直線(xiàn)AB上存在一點(diǎn)E，使點(diǎn)E到x軸的距離等于1.5，
則|y_E|=1.5，
∴y_E=±1.5．
當(dāng)y_E=1.5時(shí)，

1

2

x_E+2=1.5，
解得：x_E=-1，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，1.5）．
當(dāng)y_E=-1.5時(shí)，

1

2

x_E+2=-1.5，
解得：x_E=-7，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-7，-1.5）．
綜上所述：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，1.5）或（-7，-1.5）．

（3）若在x軸上存在一點(diǎn)G，使S_△BOG=

1

2

S_△AOB，
則有

1

2

OG×2=

1

2

×4，
解得：OG=2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-2，0）或（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、用待定系數(shù)法求直線(xiàn)的解析式、線(xiàn)段長(zhǎng)度與坐標(biāo)之間的關(guān)系、三角形的面積等知識(shí)，需要注意的是：線(xiàn)段的長(zhǎng)度確定，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)可能并不唯一，要考慮全面．