Question

已知拋物線y=-x²+2x+3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C（B在y軸左側(cè)）兩點(diǎn)，連接AC．
（1）點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)線段PD最長(zhǎng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得∠CAQ=90°-∠PAC？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線AC的解析式y(tǒng)=-x+3作直線L與AC的平行線y=-x+b，由題意，得

y=-x+b y=-x2+2x+3

有唯一解，
求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）利用∠CAQ=90°-∠PAC時(shí)，則AP⊥AE，再利用∠E′AC=∠EAC進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）∵-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3  
∴B（-1，0），C（3，0）
∵x=0，y=3
∴A（0，3）設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+3  
∴3k+3=0  
解得：k=-1  
故直線AC的解析式y(tǒng)=-x+3作直線L與AC的平行線y=-x+b    
由題意，得

y=-x+b y=-x2+2x+3

有唯一解，
整理，得x²-3x+b-3=0  
△=（-3）²-4（b-3）=0，
解得：b=

21

4

，x₁=x₂=

3

2

，
-x²+2x+3=

15

4

，
 故P（

3

2

，

15

4

）；

（2）設(shè)直線AP的解析式為y=mx+3   
則

3

2

m+3=

15

4

，
 解得：m=

1

2

，
故y=

1

2

x+3，
∵AP⊥AQ₁
∴直線AQ₁的解析式為y=-2x+3，
解方程組

y=-x2+2x+3 y=-2x+3

，
得

x=0 y=3

（不合題意）

x=4 y=-5

，
故 Q₁（4，-5），
直線AQ₁交x軸E（

3

2

，0），
過C作CE′⊥x軸，使CE′=CE=

3

2

，
則E′（3，

3

2

），
設(shè)直線AE′的解析式為y=ax+3     
故3a+3=

3

2

，
解得：a=-

1

2

，
解方程組

y=-x2+2x+3 y=- 1 2 x+3

解得：

x=0 y=3

（不合題意），

x= 5 2 y= 7 4

，
故Q₂（

5

2

，

7

4

）
綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（4，-5），（

5

2

，

7

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及二元二次方程組的解法以及平行線以及互相垂直的直線的系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．