Question

（本題滿分12分）如圖，拋物線y＝a(x＋1)(x－5)與x軸的交點(diǎn)為M、N．直線y＝kx＋b

與x軸交于P(－2，0)，與y軸交于C．若A、B兩點(diǎn)在直線y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D為線段MN的中點(diǎn)，OH為Rt△OPC斜邊上的高．

(1)OH的長度等于___________；k＝___________，b＝____________；

(2)是否存在實數(shù)a，使得拋物線y＝a(x＋1)(x－5)上有一點(diǎn)E，滿足以D、N、E為頂

點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(diǎn)(簡要說明理由)；并進(jìn)一步探索對符合條件的每一個E點(diǎn)，直線NE與直線AB的交點(diǎn)G是否總滿足PB·PG＜，寫出探索過程．

 

Answer 1

見解析

 解析:(1)OH＝1；k＝，b＝；  （各1分）

(2)設(shè)存在實數(shù)a，是拋物線y＝a (x＋1)(x－5)上有一點(diǎn)E，滿足以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形與等腰直角△AOB相似

∴以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類，一類是以DN為直角邊的等腰直角三角形，另一類是以DN為斜邊的等腰直角三角形．

①若DN為等腰直角三角形的直角邊，則ED⊥DN．

由拋物線y＝a(x＋1)(x－5)得：M(－1，0)，N(5，0)

∴D(2，0)，∴ED＝DN＝3，∴E的坐標(biāo)是(2，3)．

把E(2，3)代入拋物線解析式，得a＝

∴拋物線解析式為y＝(x＋1)(x－5)

即y＝x²＋x＋              （2分）

②若DN為等腰直角三角形的斜邊，則DE⊥EN，DE＝EN．

∴E的坐標(biāo)為(3.5，1.5)

把E(3.5，1.5)代入拋物線解析式，得a＝．

∴拋物線解析式為y＝(x＋1)(x－5)，即y＝x²＋x＋      （2分）

當(dāng)a＝時，在拋物線y＝x²＋x＋上存在一點(diǎn)E(2，3)滿足條件，如果此拋物線上還有滿足條件的E點(diǎn)，不妨設(shè)為E’點(diǎn)，那么只有可能△DE’N是以DN為斜邊的等腰直角三角形，由此得E’(3.5，1.5)．顯然E’不在拋物線y＝x²＋x＋上，因此拋物線y＝x²＋x＋上沒有符合條件的其他的E點(diǎn)．          （1分）

當(dāng)a＝時，同理可得拋物線y＝x²＋x＋上沒有符合條件的其他的E點(diǎn)．

                                                          (1分)

當(dāng)E的坐標(biāo)為(2，3)，對應(yīng)的拋物線解析式為y＝x²＋x＋時．

∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，∴∠GNP＝∠PBO＝45°．

又∵∠NPG＝∠BPO，∴△NPG∽△BPO．

∴，∴PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴總滿足PB·PG＜．    （2分）

當(dāng)E的坐標(biāo)為(3.5，1.5)，對應(yīng)的拋物線解析式為y＝x²＋x＋時，

同理可證得：PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴總滿足PB·PG＜．       （1分）