Question

如圖（1），AB、BC、CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E、F、G，且AB∥CD， 若，

1.求BC和OF的長；

2.求證：三點(diǎn)共線；

3.小葉從第（1）小題的計(jì)算中發(fā)現(xiàn)：等式成立，于是她得到這樣的結(jié)論：如圖（2），在中，，，垂足為，設(shè)，，則有等式成立．請你判斷小葉的結(jié)論是否正確，若正確，請給予證明，若不正確，請說明理由.  

 

Answer 1

【答案】

 

1.BC=10，OF=4.8。

2.見解析

3.見解析

【解析】（1）解：（第1小問共6分，若有其他方法，請酌情給分）

∵AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°---------------1分

又∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G

         ∴BO，CO分別平分∠ABC，∠BCD---------------2分

         ∴∠OBC+∠OCB=90°---------------3分

又∵在Rt△ABC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8

∴---------------4分[來源:Zxxk.Com]

∴---------------5分

即：10×OF=6×8

∴OF=4.8---------------6分

（2）（第2小問共4分）

證法一：連接OE，OG---------------1分

∵BO分別平分∠ABC

 

∴∠EBO=∠FBO

又∵AB，BC分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)

∴∠BEO=∠BFO=90°

∴∠BOE=∠BOF---------------2分

同理：∠COG=∠COF

∵∠OBC+∠OCB=90°--------------3分

∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°---------------4分

∴三點(diǎn)共線

證法二：連接OE，OG---------------1分

∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G

∴∠BFO=∠BEO=∠OGC=90°

∴在四邊形OEBF中，∠EBF+∠EOF=180°---------------2分

同理：∠GCF+∠GOF=180°

∴∠EBF+∠EOF+∠GCF+∠GOF=360°

又∵AB∥CD

∴∠EBF+∠GCF=180°---------------3分

∴∠EOF+∠GOF=180°

即：三點(diǎn)共線---------------4分

（3）（第3小問共4分，若有其他方法，請酌情給分）

等式成立．理由如下：---------------1分

證法一：∵，  ，∠A為公共角

∴△ACD∽△ABC

 

      ∴     ---------------2分

∴     

∴                                 

同理，

   ---------------3分

∴

∴          ---------------4分

證法二：tan∠CAB=---------------2分

∴---------------3分

∴    ∴

∴     ---------------4分                                            

證法三∵

    ∴    ---------------2分

         ∴，    ∴

     ∴---------------3分

         ∴

∴

∴

∴