Question

（2011•西城區(qū)模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)p_n（x_n，y_n）在雙曲線y=

6

x

上（n，x_n，y_n都是正整數(shù)，且x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n）．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)（0，3），（-2，3），（1，0）三點(diǎn)．

x	…						…
y	…						…

（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式并在坐標(biāo)系中畫(huà)出它的圖象；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)p_n（x_n，y_n）的坐標(biāo)，并寫(xiě)出p_n中任意兩點(diǎn)所確定的不同直線的條數(shù)；
（3）從（2）中得到的所有直線中隨機(jī)（任意）取出一條，利用圖象求取出的直線與拋物線有公共點(diǎn)的概率；
（4）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)分別為A，B（A在B左側(cè)），將拋物線y=ax²+bx+c向上平移，平移后的拋物線與x軸的交點(diǎn)分別記為C，D（C在D左側(cè)），求

S△P1CB

S△P1AD

值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法根據(jù)已知條件就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）由條件可以知道xn，yn都是6的正約數(shù)，x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n．就可以求出x的值，從而求出Pn的坐標(biāo)．
（3）先在畫(huà)好拋物線的圖象的坐標(biāo)系中描出所有p_n（x_n，y_n）地坐標(biāo)，再過(guò)點(diǎn)畫(huà)直線，確定與 拋物線有交點(diǎn)的線段條數(shù)占總條數(shù)的比就是直線與拋物線有公共點(diǎn)的概率．
（4）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以求出拋物線向上平移后CB=AD，就可以得到這兩個(gè)三角形的底相等，高相等，故可以求出面積之比．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)（0，3），（-2，3），（1，0）三點(diǎn)，
∴

c=3 4a-2b+c=3 a+b+c=0

，解得：

a=-1 b=-2 c=3

∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3

x	…	-3	-2	-1	0	1	…
y=-x2-2x+3	…	0	3	4	3	0	…

圖象為：

（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P₁（1，6），P₂（2，3），P₃（3，2），P₄（6，1），
p_n中任意兩點(diǎn)所確定的不同直線的條數(shù)共有：6條．

（3）由圖得，p_n中任意兩點(diǎn)所確定的不同直線有：P₁P₂，P₁P₃，P₁P₄，P₂P₃，P₂P₄，P₃P₄6條，其中與拋物線有公共點(diǎn)的直線只有一條，P₃P₄，
∴從（2）中得到的所有直線中隨機(jī)（任意）取出一條，取出的直線與拋物線有公共點(diǎn)的概率為：

1

6

（4）∵點(diǎn)C、點(diǎn)D是拋物線向上平移后與x軸的交點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸不變，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是點(diǎn)E，
∴CE=DE，AE=BE，
∴EC-AE=DE-BE，
∴AC=BD，
∴AB+AC=AB+BD，
∴BC=AD，
∵△P₁CBD的高=△P₁AD的高=h，
∴S_△P1CB=

BC•h

2

，S_△P1AD=

AD•h

2

∴S_△P1CB=S_△P1AD
∴

S△P1CB

S△P1AD

=1

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，概率的運(yùn)用，圖象的平移．