Question

如圖，已知矩形，在BC上取兩點E，F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE，PF分別交AC于點G，H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）在不添加輔助線的情況下，當F與C不重合時，先直接判斷△APH與△CFH是如下關系中的哪一種：然后證明你的判斷．
①△APH與△CFH全等；
②△APH與△CFH相似；
③△APH與△CFH成中心對稱；
④△APH與△CFH成軸對稱；
（3）若△PEF的邊EF在線段BC上移動．試猜想：PH與BE有何數量關系？并證明你猜想的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）△PEF的高等于矩形的長，過P作PQ⊥BC于Q，利用三角函數即可求解；
（2）根據AD∥BC即可證明兩個三角形相似；
（3）根據等角對等邊即可證明FC=FH，根據PH+FH=2，BE+EF+FC=3即可求解．
解答：解：（1）過P作PQ⊥BC于Q
∵矩形ABCD∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC∴
∵△PEF是等邊三角形∴∠PFQ=60°在Rt△PQF中，∴PF=2∴△PEF的邊長為2． （4分）

（2）判斷：△APH∽△CFH∵矩形ABCD∴AD∥BC∴∠2=∠1
又∵∠3=∠4，∴△APH∽△CFH （9分）

（3）猜想：PH與BE的數量關系是：PH-BE=1
證法一：在Rt△ABC中，∴
∴∠1=30°，∵△PEF是等邊三角形，∴∠2=60°，PF=EF=2，∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°
∴∠1=∠3，∴FC=FH，∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，∴PH-BE=1

證法二：在Rt△ABC中，，∴
∴∠1=30°∵△PEF是等邊三角形，PE=2，∴∠2=∠4=∠5=60°，∴∠6=90°
在Rt△CEG中，∠1=30°，∴，即
在Rt△PGH中，∠7=30°，∴，∴，∴PH-BE=1
證法三：在Rt△ABC中，，∴，
AC²=AB²+BC²，∴，∵△PEF是等邊三角形，∴∠4=∠5=60°
∴∠6=∠8=90°，∴△EGC∽△PGH，∴，∴
①∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，∴△CEG∽△CAB，∴，即，∴
②把②代入①得，，∴PH-BE=1 （14分）
點評：本題主要考查了等邊三角形的計算，以及相似三角形的判定與性質，等腰三角形的計算可以通過作高線轉化為直角三角形的計算．