Question

如圖，已知矩形ABCD在直線l的上方，BC在直線l上，AB=a，AD=b（a、b為常數(shù)），E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），以AE為邊在直線l的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上．
（1）求證：△ADG∽△ABE；
（2）過F作FH⊥l，求證：△ADG≌△EHF；
（3）連接FC，判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCH的大小是否總保持不變？若∠FCH的大小不變，請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式表示tan∠FCH的值；若∠FCH的大小發(fā)生改變，請(qǐng)舉例說明．

Answer 1

分析：（1）由于AB⊥BC，AD⊥CG，且∠DAG+∠DAE=∠BAE+∠DAE=90°，則∠DAG=∠BAE，由此△ADG∽△ABE得證．
（2）由∠2=∠3，AG=EF可證得Rt△ADG≌Rt△EHF（ASA）．
（3）∠FCH的大小總保持不變，由△EHF∽△ABE可得tan∠FCH=

b

a

．

解答：（1）證明：
∵G在射線CD上，∴∠ADG=∠ABE=90°．
又∵∠1=90°-∠EAD，∠2=90°-∠EAD，
∴∠1=∠2，
∴△ADG∽△ABE．

（2）證明：∵矩形ABCD和矩形AEFG中，∠1、∠3都與∠AEB互余，
∴∠1=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3．
∠ADG=∠EHF=90°，AG=EF．
∴△ADG≌△EFH（AAS）．

（3）解：∠FCH的大小總保持不變．
在Rt△FEH中，tan∠FCH=

FH

CH

，
而由（2）知EH=AD=BC，∴CH=BE，
又由（1）、（2）可得知△EHF∽△ABE，
∴在Rt△FEH中，tan∠FCH=

FH

CH

=

FH

BE

=

EH

AB

=

b

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．