Question

如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部，再延長(zhǎng)BG交DC于點(diǎn)F．
（1）判斷GF與DF之長(zhǎng)是否相等，并說明理由．
（2）若，求的值．
（3）若，求的值．

Answer 1

解：（1）連接EF，
∵△BGE由△BAE翻折而成，
∴∠A=∠EGB=90°，AE=EG，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=EG=DE，
∴，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；

（2）∵AD=AB，四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=CD，
在Rt△BCF中，
∵BC²+CF²=BF²，即BC²+（CD-DF）²=（BC+DF）²，整理得CD=（2+）DF，
∴=；

（3）∵GF=DF，設(shè)DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²
∴y=2x，
∴==
分析：（1）連接EF，由圖形翻折變換的性質(zhì)可知，∠A=∠EGB=90°，AE=EG，由HL定理可得出Rt△EGF≌Rt△EDF，故可得出結(jié)論；
（2）由AD=AB，四邊形ABCD是矩形，可知AD=BC=CD，在Rt△BCF中利用勾股定理即可得出的值；
（3）GF=DF，設(shè)DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y，由DC=n•DF，可知BF=BG+GF=（n+1）x，在Rt△BCF中，由BC²+CF²=BF²即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形的翻折變換及勾股定理，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．