Question

已知如圖，圓錐的底面圓的半徑為r（r＞0），母線(xiàn)長(zhǎng)OA為3r，C為母線(xiàn)OB的中點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，一只螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短線(xiàn)路長(zhǎng)為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”得出結(jié)果．
解答：解：由題意知，底面圓的直徑為2r，故底面周長(zhǎng)等于2rπ，
設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n°，
根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)得，2rπ=，
解得n=120，
所以展開(kāi)圖中扇形的圓心角為120°，
∴∠AOA′=120°，
∴∠1=60°，
過(guò)C作CF⊥OA，
∵C為OB中點(diǎn)，BO=3r，
∴OC=r，
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=r，
∴CF²=CO²-OF²=r²，
∵AO=3r，F(xiàn)O=r，
∴AF=r，
∴AC²=AF²+FC²=r²+r²═r²，
∴AC=，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．