Question

若關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂.

（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

（2）是否存在實(shí)數(shù)k使得x₁•x₂-x₁²-x₂²≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知一元二次方程的根的情況，得到根的判別式Δ≥0，據(jù)此列出關(guān)于k的不等式［-（2k+1）］²-4（k²+2k）≥0，通過解該不等式即可求得k的取值范圍；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k使得x₁•x₂--≥0成立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求得x₁+x₂=2k+1，x₁•x₂=k²+2k，然后利用完全平方公式可以把已知不等式轉(zhuǎn)化為含有兩根之和、兩根之積的形式3x₁•x₂-（x₁+x₂）²≥0，通過解不等式可以求得k的值.  

解：（1）∵ 原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴ ［-（2k+1）］²-4（k²+2k）≥0，∴ 4k²+4k+1-4k²-8k≥0，∴ 1-4k≥0，∴ k≤.

∴ 當(dāng)k≤時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k使得x₁•x₂--≥0成立．

∵ x₁，x₂是原方程的兩根，

∴ x₁+x₂=2k+1,x₁•x₂=k²+2k.

由x₁•x₂--≥0，   

得3x₁•x₂-（x₁+x₂）²≥0.

∴ 3（k²+2k）-（2k+1）²≥0，整理得-（k-1）²≥0，

∴ 只有當(dāng)k=1時(shí)，上式才能成立.

又由（1）知k≤，

∴ 不存在實(shí)數(shù)k使得x₁•x₂--≥0成立.